(完整word版)酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结-推荐文档.doc

酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈
韦龙201131402
摘要
科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。在数学的很多分支和工程实际应用中,都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造.本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵.酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵,有很多良好的性质,在矩阵理论中具有举足轻重的作用。本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。

关键词:酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。

ThestudyofUnitarymatrixandHermitematrix
WeiLong201131402
Abstract
Withthedevelopmentofscienceandsociety,peoplegetadeeperunderstandingofmath,andtheuseofmathbecomesmoreandmorewidely.Inmanybranchesofmathematicsandengineeringapplications,arerelatedtosomespecialnatureandstructurematrix.Thispaperdiscussesaspecialkindofmatrix-unitarymatrixandHermitematrix.Thetwokindsofmatrixastwospecialskindofmatrix,therearemanygoodproperties.Inthematrixtheoryplaysanimportantroleinthestudyofthistopiccouldbemoreperfectmatrixtheory.Inthispaper,weusetheknowledgeoftheunitarymatrixandOrthogonalmatrix,thenatureoftheunitarymatrix,theconstructionoftheunitarymatrixtogetafirstimpressionoftheunitarymatrix,andmakeabasementtofartherstudy.AndwestudytheHermitematrixbytheknowledgeofthenatureofHermitematrix，determinedtheorem，positivedefinitematrixandtheHermitematrixinequality.

Keywords:unitarymatrix；Hermitematrix；Orthogonalmatrix;Characteristicvalue

第一章酉矩阵
第一节酉矩阵的概念及等价条件
1.1.1正交矩阵和酉矩阵
定义1.1.1满足QUOTE的阶实矩阵称为正交矩阵.
在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.
1.1.2酉矩阵的等价条件
先给出酉矩阵的以下定义.
定义1.1.2若阶复方阵满足则称为酉矩阵.
定义1.1.3若阶复方阵满足则称为酉矩阵.
定义1.1.4若阶复方阵满足则称为酉矩阵.
注:表示矩阵的共轭转置，即.
定义1.1.5若阶复方阵的个行(列)向量是两两正交的单位向量,则称为酉矩阵.
易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的.从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知,酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得,阶酉矩阵的个行(列)向量构成的标准正交基.
引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1
引理1.1.2[4]对任意的阶矩阵有QUOTE.
引理1.1.3[5]对任意的阶矩阵和阶可逆矩阵QUOTE,有QUOTE
引理1.1.4[6]对任意的QUOTE阶矩阵和阶矩阵QUOTE,有QUOTE
引理1.1.5[6]阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是：或者
定理1.1.1阵QUOTE为酉矩阵的充分必要条件是

这里表示行列的模,表示的共轭复数.
定理1.1.2二阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是为下列三种形式之一:
(i)
(ii)
(iii)
这里QUOTE,为整数.
定理1.1.3阶