(完整word版)数值分析实验报告2.doc

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实验报告

一、实验名称
复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分。
二、实验目的及要求
1.掌握复合梯形求积计算积分、复合辛普森求积计算积分、龙贝格求积计算积分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤.
2.培养Matlab编程与上机调试能力.
三、实验环境
计算机，MATLAB软件
实验内容
1.用不同数值方法计算积分。
取不同的步长h。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确指比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善。
用龙贝格求积计算完成问题（1）。
（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4。
五、算法描述及实验步骤
复合梯形公式
将区间[a,b]划分为n等份，分点xk=a+ah,h=(b-a)/h,k=0,1,...,n，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,...,n-1)上采用梯形公式（1.1），得
（1.1）
（1.2）
（1.3）
其中Tn称为复合梯形公式，Rn为复合梯形公式的余项。
复合辛普森求积公式
将区间[a,b]划分为n等份，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,...,n-1)上采用辛普森公式（1.4），得
（1.4）
（1.5）
（1.6）
其中Sn称为复合辛普森求积公式，Rn为复合辛普森求积公式的余项。
龙贝格算法
统一的公式：
（1.7）
经过m（m=1,2...）次加速后，余项便取下列形式：
（1.8）
上述处理方法通常称为理查森外推加速法。
设以表示二分k次后求得的梯形值，且以表示序列｛｝的m次加速值，则依递推公式（1.7）可得
（1.9）
公式（1.9）也称为龙贝格求积算法，计算过程如下：
取k=0,h=b-a,求。令（k记区间[a,b]的二分次数）。
求梯形值T0((b-a)/2k),即按递推公式（1.10）计算。
（1.10）
求加速值，按公式（1.9）逐个求出T值。
若（预先给定的精度），则终止计算，并取；否则令转（2）继续计算。
自适应积分方法
设给定精度要求，计算积分的近似值。先取步长h=b-a，应用辛普森公式有
（1.11）
表区间[a,b]对分，步长h2=h/2=(b-a)/2，在每个小区间上用辛普森公式，得
（1.12）
上式即为
（1.13）
将（1.12）与（1.13）比较得
(1.14)
则期望得到
（1.15）
此时可取S2(a,b)作为的近视，则可达到给定的误差精度。如果不行，则细分区间，进行计算。
六、调试过程及实验结果
取不同的步长，得到的不同结果如下表：
方法
步长数n8163264复合梯形-0.4081752659412-0.4300526451254-0.4384455545521-0.4420384567157复合辛普森-0.4366254599415-0.4413577845643-0.4485764578412-0.4440567812461龙贝格公式-0.4440466483230-0.444046683231-0.440466472144-0.4440466483231自适应辛普森-0.4432496512462-0.4439840234457-0.44426854611233-0.4443774893458
七、总结
通过本次学习Matlab，掌握了复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分的程序和算法，为以后处理数据提供一种更加简便，准确的方法。
八、附录（源程序清单）
1.复合梯形
functions=fuhetixing(f,a,b,n)
%f为被积分函数
%a，b是积分上下限
%n是子区间个数
%s是积分值
h=(b-a)/n;
s=0;
fork=1:(n-1)
x=a+h*k;
s=s+feval('f',x);
end
formatlong
s=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2+h*s;

2.复合辛普森
functionS=Comsimpson(f,a,b,n)
%f为被积分函数
%a，b是积分上下限
%n是子区间个数
%s是积分值
h=(b-a)/(2*n);
s1=0;s2=0;
fork=1:n
x=a+h*(2*k-1);
s1=s1+feval('f',x);
end
fork=1:(n-1)
x=a+h*2*k;
s2=s2+feval('f',x);
end
formatlong
S=h*(feval('f',a)+feval('f',b)+4*s1+2*s2)/3;

3.龙贝格
function[T,quad,err,h]=Romberg(f,a,b,n,delta)
%f为被积分函数
%a，b是