走向高考2013高三数学人教A版总复习同步练习87圆锥曲线的综合问题理.doc

8-7圆锥曲线的综合问题(理)
基础巩固强化
1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
[答案]B
[解析]依题意得e＝eq\f(1,2)，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，eq\f(1,2))的连线的斜率为eq\f(2－\f(1,2),2－1)＝eq\f(3,2)，则所求直线的斜率等于－eq\f(2,3)，所以所求直线方程是y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,3)(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.
2．(2011·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()
A．3 B．4
C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)
[答案]C
[解析]设A(x1,3－xeq\o\al(2,1))，B(x2,3－xeq\o\al(2,2))，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝x\o\al(2,2)－3，,3－x\o\al(2,1)＝－x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,x2＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝－2，))设直线AB的斜率为kAB，
∴|AB|＝eq\r(1＋k\o\al(2,AB))|x1－x2|＝3eq\r(2).故选C.
3．设F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()
A．2 B.eq\r(3)
C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)
[答案]D
[解析]由题意可知，抛物线C1的焦点为F(eq\f(p,2)，0)，因为AF⊥x轴，则A(eq\f(p,2)，±p)，不妨取A(eq\f(p,2)，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为eq\f(p,\f(p,2))＝eq\f(b,a)，∴eq\f(b,a)＝2，令a＝1，则b＝2，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).
4．(2011·南昌检测)过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()
A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)
C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)
[答案]B
[解析]记|F1F2|＝2c，则|PF1|＝eq\f(2c,\r(3))，|PF2|＝eq\f(4c,\r(3))，所以椭圆的离心率为eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(2c,\f(2c,\r(3))＋\f(4c,\r(3)))＝eq\f(\r(3),3)，选B.
5．(2011·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则eq\f(|AF|,|BF|)的值为()
A．5B．4C．3D．2
[答案]C
[解析]由题意设直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－eq\f(p,2))，即x＝eq\f(y,\r(3))＋eq\f(p,2)，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得eq\r(3)y2－2py－eq\r(3)p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝eq\r(3)p，yB＝－eq\f(\r(3),3)p，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝|eq\f(yA,yB)|＝3.
6．(2012·东北三校一模)已知直线y＝eq\f(1,2)x与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝()
A.eq\f(4,9) B.eq\f(1,2)
C.eq\f(2,3) D．与P点位置有关
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