函数的最值.doc

基础达标
一、选择题
1．函数f(x)＝2x－x2的最大值是
()
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：函数f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，
∴当x＝1时，f(x)max＝1.
答案：C
2．已知函数f(x)＝eq\r(3x－2)＋x，则它的最小值是
()
A．0 B．1
C.eq\f(2,3) D．无最小值
解析：函数f(x)＝eq\r(3x－2)＋x的定义域为[eq\f(2,3)，＋∞)且为增函数，∴f(x)min＝f(eq\f(2,3))＝eq\f(2,3).
答案：C
3．函数y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上的最小值为
()
A．2 B.eq\f(1,2)
C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)
解析：作出图象可知y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上是减函数，ymin＝eq\f(1,3－1)＝eq\f(1,2).
答案：B
4．函数y＝|x＋1|在[－2,2]上的最大值为
()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：作出图象即可．
答案：D
5．函数f(x)＝eq\f(1,1－x(1－x))的最大值是
()
A.eq\f(4,5) B.eq\f(5,4)
C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)
解析：分母1－x(1－x)＝x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)显然0<f(x)≤eq\f(4,3).
答案：D
6．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为
()
A．0 B．1或2
C．1 D．2
解析：∵抛物线y＝x2－2ax＋a＋2开口向上，且对称轴为x＝a，∴函数y＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上为减函数，∴a＋2＝3且a2－2a2＋a＋2＝2，a＝1.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案：1
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a＝__________，b＝__________.
解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，
∴在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
答案：－20
9．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为__________．
解析：由对称轴方程为x＝1－a，∵x∈[1,5]最小值为f(5)，∴1－a≥5，得a≤－4.
答案：a≤－4
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2的图象的对称轴为直线x＝1.
∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)∵函数f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上是单调函数，∴区间[－5,5]一定都在抛物线的对称轴x＝－a的同一侧．
∴－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
11．把长为12cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是多少？
解：设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积之和为S，则S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq\r(3)(0<x<4)，
∴当x＝2时，S取得最小值2eq\r(3)cm2.
创新题型
12．已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x，是否存在实数m、n，m<n，使当x∈[m，n]时，函数的值域恰为[2m,2n]．若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在m、n使当x∈[m，n]时，y∈[2m,2n]．则在[m，n]上函数的最大值为2n.
而f(x)在x∈R上的最大值为eq\f(1,2)，
∴2n≤