古代数学家杨辉介绍.pdf

杨辉

杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家，

生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，

为政清廉，足迹遍及苏杭一带。

(一)主要著述

杨辉一生留下了大量的著述，它们是：《详解九章算法》12卷(1261

年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通变本末》3卷(1274年，第

3卷与他人合编)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275年)，《续古摘奇

算法》2卷(1275年，与他人合编)，其中后三种为杨辉后期所著，一

般称之为《杨辉算法》。

《详解九章算法》现传本已非全帙，编排也有错乱。从其序言可

知，该书乃取魏刘微注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的《九章算

术》中的80问进行详解。在《九章算术》9卷的基础上，又增加了3

卷，一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居

书末今卷首图、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、

反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚。卷4衰分下半卷、卷5少广

存《永乐大典》残卷中，其余存《宜稼堂丛书》中。从残本的体例看，

该书对《九章算术》的详解可分为：一、解题。内容为解释名词术语、

题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面。二、明法、草。在编

排上，杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来。三、

比类。选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对照分析。

四、续释注。在前人基础上，对《九章算术》中的80问进一步作注
释。杨辉的“纂类”，突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性

质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、

勾股九类。

《日用算法》，原书不传，仅有几个题目留传下来。从《算法杂

录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田

为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实

有，分上下卷。”该书无疑是一本通俗的实用算书。

《乘除通变本末》三卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的

改进上作出了重大贡献。上卷叫《算法通变本末》，首先提出“习算

纲目”，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法；中卷叫《乘除通

变算宝》，论以加减代乘除、求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本

末》，是对中卷的注解。

《田亩比类乘除捷法》，其上卷内容是《详解九章算法》方田章

的延展，所选例子非常贴近实际。下卷主要是对刘益工作的引述。杨

辉在《田亩比类乘除捷法》序中称“中山刘先生作《议古根源》。……

撰成直田演段百间，信知田体变化无穷，引用带从开方正负损益之法，

前古之所未闻也。作术逾远，罔究本源，非探喷索隐而莫能知之。辉

择可作关键题问者重为详悉著述，推广刘君垂训之意。”《田亩比类乘

除捷法》卷下征引了《议古根源》22个问题，主要是二次方程和四

次方程的解法。比如，该书的第9题，实际上就是解方程一x2十60x

＝864。其两种解法如下：

图1表示原方程，图2表示方程－（10x）2＋60（10x）＝864，
11
其中10x＝x。上商第1位得数x＝2。图3表示60（10x）－10x
1111

（10x）＝864，将10x（10x）即400加到积上得864＋（20×20）
111

＝1264，减60×10×2余实64。图4表示减根变换后的方程－x2＋
2

（60－40）x＝60；上商根第二位得数x＝4。图5表示关系60x－
222

44x＝64。将44x即44×4加到积64上得240，减去60x即60×4，
222

余为零，故x＝24。此法因每次都要增加积故称为益积术。

此法每次都要减从方，故称为减从术。益积术不是增乘开方法，

而减从术与增乘开方法比较接近。祖冲之《缀术》失传之后，在中国

数学史上，是刘益第一次涉及到解负系数方程的问题，所以杨辉说他
“突冠前古”。《田亩比类乘除

捷法》还有“五曹刊误”三题，

对《五曹算经》的题问不清、

法草公式不合等进行批评。例

如，指出《五曹》中求正方形

田地面积时用的公式“方五斜

七”的不准确以及批评其求四

不等田公式的错误。

《续古摘奇算法》上卷首

先列出20个纵横图，即幻方。

其中第一个为河图，第二个为

洛书，其次，四行、五行、六

行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有“聚五”
“聚六”：聚八”“攒九”“八阵”“连环”等图。有一些图有文字说明，

但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”

凑成相等的和数。卷下评说《海岛》也有极高的科学价值。

杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓。其著作还广泛征引数学

典籍和当时的算书，中国古代数学的一些杰出成果，比如刘益的“正

负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”“增