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平面几何中的最值问题
在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。1例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。P’，连结P’，BP’，分析：在直线L上任取一点P’，连结AP’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段直线L无交点，所以这种思路错误。A’，则AP’＝AP，取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝AP，A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’P’+B’P’＝A’B，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？的周长最大(91)？AB∥CD，分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．=ABBE＝2R(R-y)＝2Ry，解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=ABBE＝2R(R-y)＝2R2-2Ry，所以2的最大值，只须求所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．(x-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，60°120°这时，梯形的底角恰为60°和120°．(m)，怎样才能得出2.如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？表示半圆半径，yAD，则必有分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，2x+2y+πx=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有代入②3即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．在什么位置时，PA+PB最大(93)？3.已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P重合时)AB．因此，猜想在半圆弧中点时，PA+PB状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．PB，PA，延长PC=PA，连CB，则设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．AP′为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，=BP′CC′，则∠B=∠BC=∠PCB=45°使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′PA+PB＞A+P′所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．AC94，在直角，在直角△中，AD是斜边上的高，M分别是△ABD，4如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，AB，．求证：S直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．AM，BM，DM，AN，DN，CN．证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△中，∠A=90°AD⊥因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，ABD=∠DAC，ADB=∠ADC=90°所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．分别是△因为M，N分别是△ABD