专题平面几何的最值问题.pdf

中高考找才子始建于1998年

专题25平面几何的最值问题

阅读与思考
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、
图形面积）等的最大值或最小值．
求几何最值问题的基本方法有：
1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形
下的推证．
2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．
3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．

例题与求解
【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M
作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）
解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN
的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）
DC

M

ANB

解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要
使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的
值最小．
【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b(ab)，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线
于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）
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DC

B
AP

Q

解题思路：设AP=x，把AP，BQ分别用x的代数式表示，运用不等式以a2b22ab或a+b≥2ab

（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．
【例4】阅读下列材料：
问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发
沿圆柱表面爬行到C点的最短路线．
小明设计了两条路线：

BBC
C
沿AB剪开
摊平
AA

图1图2

路线1：侧面展开图中的线段AC．如图2所示．

设路线l的长度为l，则l2=AC2=AB2+BC2=25+(5π)2=25+25π2．
11
路线2：高线AB十底面直径BC．如图1所示．

设路线l的长度为l，则l2=BC(+AB)2=(5+10)2=225．
22
∵l2–l2=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l2＞l2，∴l＞l．
121212
所以，应选择路线2．
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继
续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：

路线1：l2=AC2=；
1
路线2：l2=（AB+BC）2=．∵l2l2，∴ll（填“＞”或“＜”），所以应
21212
选择路线（填“1”或“2”）较短．
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两
条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．（衢州市中考试题）

解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简
便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．
【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1．为了合理利用这块
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钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大
利用率．（中学生数学智能通讯赛试题）

EAF
M
PB

DNC

解题思路：设DN=x，PN=y，则S=xy．建立矩形MDNP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数
性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率．
【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S
△PAB
的最小值．（中学生数学智能通讯赛试题）

P

C
1
D
1
AB

ABPA
解题思路：设PD=x(x>1)，根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到，求出
CDPC
AB，根据三角形的面积公式求出y=AB·S，整理后得到y≥4，即可求出答案．
△PAB

能力训练
A级
1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条
垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．（烟台市中考试题）

2．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB=cm．
（广州市中考试题）
3．如图，有一个长方体，它的长BC=4，宽AB=3，高BB=5．一只小虫由A处出发，沿长方体表面
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