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任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
1．角－870°的终边所在的象限是()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案C
解析由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限．
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()
A．2 B．sin2
C.eq\f(2,sin1) D．2sin1
答案C
解析设圆的半径为r，则sin1＝eq\f(1,r)，∴r＝eq\f(1,sin1)，
∴2弧度的圆心角所对弧长为2r＝eq\f(2,sin1).
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝____________.
答案－8
解析因为sinθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
4．函数y＝eq\r(2cosx－1)的定义域为________．
答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
解析∵2cosx－1≥0，
∴cosx≥eq\f(1,2).
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．

题型一角及其表示
例1(1)终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合是________．
(2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．
答案(1){α|α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}
(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上
解析(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，
∴终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为{α|α＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z}．
(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，
∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．

题型二三角函数的概念
例2(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于()
A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)
C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)
(2