任意角、弧度制及任意角的三角函数.docx

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【考查内容】1．考查三角函数的定义及应用．2．考查三角函数值符号的确定．【基础梳理】1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为．②按终边位置不同分为．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成．(3)弧度制①1弧度的角：．②规定：正角的弧度数为，负角的弧度数为，零角的弧度数为，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.2．任意角的三角函数定义：角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线：余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β))＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；（4）终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(kπ,2)，k∈Z)))).【双基自测】1．与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式是________.2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在________象限．3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是________象限角．4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为________.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.【展示交流】(1)若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号；(2)若tan(cosθ)·tan(sinθ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出eq\f(θ,2)所取的范围．[Z§X§X§K]【例题分析】考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，求在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、eq\f(α,2)所在的象限．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ－\f(π,2)))，k∈Z))，也可以表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则角α与角β的关系为．考向二三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【训练2】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝.考向三弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).【训练4】求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(2cosx－1)；(2)y＝lg(3－4sin2x)．【课堂反馈】1、已知角α终边经过点P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，求sinα、tanα的值．2、已知角α的终边在直线3x＋4y