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非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验.pdf

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非线性电路振荡周期的分岔与混沌 1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中 混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。从此人们对事物运动认识不再只局 限于线性范围。非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此 领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济 学，生物学，计算机科学等。本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解 和理解非线性混沌现象的本质。 一．实验目的 ⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程； ⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认 识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。 二．实验原理 ⒈分岔与混沌理论 ⑴逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非 线性映射， 因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。 考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数 表示。逻辑斯蒂映射是 其中 是0和4之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统 ， ，1，2… 我们发现：①当 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点;②当 大于3时，随着 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环； 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快 在 左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭 代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之 为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。 以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物 线，所以先画一条 的抛物线，再画一条 的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。 XB XA X0 图1—A不动点图1—B分岔周期2图1—C混 沌图1—D蝴蝶效应 图1 ⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以 为横坐标，迭代200次以后的 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。 图2逻辑斯蒂映射的分岔图。 从2.8增大到4。 从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3，5，7…奇数及 其倍周期6，10，14…的循环，混沌产生有序，或秩序从混沌中来。 其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代，不是个 别例子特有的，具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混 沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状 态。混沌是指确定论系统（给系统建立确定论的动力学方程组）中的内在不确定行 为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。 ⑶混沌性态 ①不确定性（确定性系统）； ②“蝴蝶效应” ； ③由⑴⑵可得混沌系统的长期行为不可精确预测 ； ④混沌吸引子（非线性事物的演变规律）； ⑤混沌不是简单的完全随机，具有规律性 ； ⑥混沌现象是非线性系统中存在的普遍现象 。 ⒉非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学 实验电路如图3所示。它由有源非线性负阻器件R；LC振荡器和移相器三部分构 成。图中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L和电容 器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振 荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R是一个三段分段线性元件。 图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压 与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却 减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。 图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安 曲线 图3电路的非线性动力学方程为： 式中，导纳G=1/(Rv1+Rv2)， 和 分别表示加在C1和C2上的电压， 表示流过电感器L的电流，g表示非线性电阻的导纳。 ⑵有源非线性负阻元件的实现 有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路： 采用两个运算放大器（一个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图5 所示，它的伏安特性曲线如图6所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整个电 路的影响，只要知道它主要是一个负电阻电路（元件）能输出电流，维持LC2振荡 器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现 象。 图5图6 R1 图7实际非线性混沌电路图 三．NCE—1型非线性电路混