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用逼近型√3细分方法构造闭三角网格的插值曲面

一、引言
介绍问题背景和研究意义，阐述研究目的和创新点。

二、文献综述
综合阐述现有的三角网格插值方法和其特点，重点介绍逼近
型插值方法的原理和应用。

三、逼近型插值方法基础
介绍逼近型插值方法的理论基础和实现步骤，重点探讨√3细
分方法的原理。

四、构造闭三角网格的插值曲面
详细阐述基于逼近型√3细分方法构造闭三角网格的插值曲面
的步骤和实现过程。通过实验对比不同情况下的性能，进一步
验证该方法的优越性。

五、结论和展望
总结本文所采用的逼近型√3细分方法的特点和优势，阐述该
方法在三角网格插值中的应用前景和未来研究方向。第一章：
引言

在计算机图形学中，三角网格(surfacemesh)由于其简单快速的
计算、良好的表现效果和广泛的应用领域，成为了三维物体建
模和表达的重要工具。然而，由于三角网格的不规则性，对其
进行形状编辑、动画等操作时会遇到很大的挑战。为了在处理
三角网格时达到更好的效果，需要进行一些优化操作来改善网
格的形态，而插值曲面是最常用的操作之一。

三角网格插值是将网格节点的数值特性（比如位置、色彩等）
插值到网格内部的一种技术，其目的是产生一个连续的、平滑
的、经过节点的曲面，以重新定义和改善三角网格的形态。这
个过程可以通过各种方法实现，包括基于逆向微分、局部逼近
和全局逼近等方法。其中，逼近型插值方法是最广泛使用的一
种方法。

逼近型插值方法是将插值曲面看作是一组可自由控制的权重函
数的线性组合，通过求解这些权重函数，得到插值曲面。逼近
型插值方法的主要优点是能够拟合任意形状的曲面，同时具有
较高的精度和良好的稳定性，这使得它被广泛用于各类三维模
型处理和数据重构应用中。

本论文旨在提出一种新的逼近型√3细分方法，用于构造闭合
三角网格的插值曲面。论文的贡献在于弥补了现有逼近型插值
方法对闭合三角网格处理的不足，同时提出的方法具有较高的
精度和鲁棒性，具有良好的实际应用价值。第二章：文献综述

本章将综述现有的三角网格插值方法，包括基于逆向微分、局
部逼近和全局逼近等方法，并着重介绍逼近型插值方法的原理
和应用。

1.逆向微分
逆向微分是一种能够通过表面点和法向量来计算切向量场的方
法。它可以解决三角网格上的一系列问题，包括形状编辑、光
照和纹理映射等。但是，它对特定的物体形状和拓扑结构很敏
感，因此不能适用于所有的三维物体。

2.局部逼近
局部逼近是一种在单个小区域内进行插值的方法。它可以通过
在每个区域内估计局部函数来生成光滑的曲面，但局部逼近容
易导致曲面之间出现不协调的痕迹。

3.全局逼近
全局逼近是一种在整个模型上进行插值的方法。它可以通过优
化一个全局目标函数来平滑地插值整个模型，但全局逼近的计
算复杂度和计算时间很高，需要大量的计算资源。

4.逼近型插值方法
逼近型插值方法是一种将插值曲面看作是一组可自由控制的权
重函数的线性组合的方法。它可以通过求解这些权重函数来得
到插值曲面。逼近型插值方法的主要优点是能够拟合任意形状
的曲面，同时具有较高的精度和良好的稳定性。

逼近型插值方法还可以细分为基于面的和基于点的两种方法。
基于面的方法可以自动消除三角形网格上的狭长区域，但它们
需要额外的计算来保证曲率连续性，并且难以处理很多不规则
的网格。基于点的方法没有这些限制，它们能够自然地处理三
角网格的任意形状和拓扑结构，并且几乎可以用于所有的网格
类型。

在基于点的逼近型插值方法中，√3细分是一种常用的方法。
它通过插入一对新点来处理每个三角形，以产生更多的三角形
和更具细节的曲面。同时√3细分是一种局部的细分方法，因
此在处理大型三角网格时具有较高的计算速度和内存效率。

综上，逼近型插值方法具有良好的实际应用前景，而基于点的
逼近型插值方法的√3细分则是一种快速准确的插值方法，为
本文提出的逼近型√3细分方法提供了理论支持。第三章：提
出的逼近型√3细分方法

本章将详细介绍本文提出的新逼近型√3细分方法，并阐述其
原理和实现细节。

1.方法原理
本文提出的逼近型√3细分方法可以产生高质量的三角网格，
且具有较高的计算效率和内存利用率。

首先，将三角网格进行√3细分，得到一组新的三角形和点。
然后按照逼近型插值方法的原理，在每个新点处估计一个权重
函数。最后，通过求解这些权重函数来得到插值曲面。

在本文方法中，选取了一种高效的基于点的逼近型插值方法，
即KERNEL方法。KERNEL方法使用RBF（径向基函数）作
为权重函数，在每个新点处进行插值。通过最小二乘法来优化
权重函数，使插值曲面和原始曲面之间的误差最小化，从而获
得最优的插值结果。

2.实现细节
本文提出的逼近型√3细分方法的实现过程如下