2024年北京市首都师范大学附属中学高二数学期末质量检测模拟试题含解析.docx

2024年北京市首都师范大学附属中学高二数学期末质量检测模拟试题含解析一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，中点，，则（）A.B.C.D.2、已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.3、把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度A.B.C.D.4、已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A.B.C.D.5、两圆和的位置关系是（）A.内切B.外离C.外切D.相交6、曲线上的点到直线的最短距离是（）A.B.C.D.17、在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（）A.B.C.D.8、在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A.B.C.D.9、已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.10、已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.点为上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积大于，则的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11、数列满足，，则___________.12、已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.13、已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.14、已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为___________.15、已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.16、曲线在点处的切线方程为_____________.三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）17、如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长18、已知（1）若函数在上有极值，求实数a的取值范围；（2）已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）19、某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）请写出y与x的函数关系式；（2）求排放污水150吨的污水处理费用.20、已知直线.（1）若，求直线与直线的交点坐标；（2）若直线与直线垂直，求a的值.21、已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上（1）求圆C的方程；（2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长值参考答案一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、答案：D【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】，故选：D2、答案：B【解析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，从而由可知轴，所以在直角三角形中，，由，可得的范围，进而转化为，的不等式，结合可得离心率的取值范围【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，所以由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，由轴，可知轴，所以，在直角三角形中，，因为，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故选：B3、答案：B【解析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角【详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小∴最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题4、答案：C【解析】根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.5、答案：A【解析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，两圆圆心距为，则，因此，两圆和内切.故选：A.6、答案：B【解析】先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.【详解】设与平行的直线与相切，则切线斜率k=1，∵∴，由，得当时,即切点坐标为P(1,0)，则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，∴点(1,0)到直线的距离为：，∴曲线上的点到直线l:的距离的最小值为.故选：B7、答案：D【解析】根据四点共面的向量表示，可得结果.【详解】由共面知，故选：【点睛】本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.8、答案：C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设