解决存在性问题的几种常用方法.pdf

解决存在性问题的几种常用方法

〔关键词〕数学教学;问题;存在;分类讨论法;解析法;比例线段法;图象法

一、分类讨论法

例1已知,在直角坐标系中,A、B两点是抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴的交点
(A在B的右侧),x1、x2分别是A、B两点的横坐标,且|x1-x2|=3.

(1)当m>0时,求抛物线的解析式;

(2)如果(1)中所求抛物线与y轴交于点C,问y轴上是否存在点D(不与点C重
合),使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请求出D点的坐标;
若不存在,请说明理由.

分析:要求抛物线的解析式,只需求出m的值,可通过条件“|x1-x2|=3”,结合根
与系数的关系及根的判别式确定m的值为2.

解:(1)略,所求抛物线的解析式为y=x2+x-2.

(2)假设在y轴上存在点D,使得△DOA∽△AOC.设点D的坐标为(0,y),由(1)
知抛物线y=x2+x-2与y轴的交点C的坐标为(0,-2),与x轴的交点A的坐标为(1,0),
如图①、②所示分以下两种情况讨论:

①当∠ACO=∠ADO时,则△ACD为等腰三角形,此时AO垂直平分DC.

∵点C、D关于原点对称,

∴D1的坐标为(0,2).

②当∠DAO=∠ACO时,有两种情况,如图②所示点D2、D3的位置,并且此时
点D2与点D3关于原点对称,下面求D2点的坐标.

∵△DAO∽△ACO,∴OA2=OC·OD.

∴OD=■=■,

∴点D2的坐标为(0,■而),D3是D2关于原点的对称点,即D3的坐标为(0,-■),

综上所述,D点存在,有3个,其坐标分别是(0,2)、(0,■与)(0,-■).

评注:本题所探索的是点的存在性问题,用了分类讨论的方法,解题时要注意
将任何可能的情况都要考虑到,否则易将D3漏解,而在探求此点时又利用了对称

性原理巧妙地进行了解答.

二、解析法

例2如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,顶点C在y
轴的负半轴上,tan∠ABC=■,点P在线段OC上,且PO,PC(PO<PC)是方程
x2-12x+27=0的两根.

(1)求P点的坐标;

(2)求AP的长;

(3)在x轴上是否存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存
在请直接写出直线PQ的解析式;若不存在,请说明理由.

分析:该题前两问是常规求解问题,只需根据已知条件和已有知识进行推理论
证,解答出结果即可,而最后一问将函数和几何的有关知识有机结合在一起,形成
一道“是否存在”的综合题目,应以“假设存在,去伪存真”作为解答策略.

解:(1)略,点P的坐标为(0,-3);

(2)略;

(3)假设存在,分两种情况讨论,如图③所示:

(i)过P作PQ1∥AC交x轴于点Q1,由(1)(2)知,点A、C、P的坐标分别为
(-9,0),(0,-12),(0,-3),设直线AC的解析式为y=k1x+b1,将点A、C的坐标分别代入
解析式得

-9k1+b1=0b1=-12解得k1=-■b1=-12

又∵AC∥PQ1,∴直线PQ1的解析式为y=-■x-3.

(ii)过点C作CQ2∥AP交x轴于点Q2,设直线AP的解析式为y=k2x+b2,同(i),
解得k2=-■,b2=-3.∵CQ2∥AP,∴CQ2的解析式为y=■x-12.令y=0,得x=-36,
∴点Q2的坐标为(-36,0).再设直线PQ2的解析式为y=kx+b,将P(0,-3),Q2(-36,0)
分别代入y=kx+b,可得k=■,b=-3,∴直线PQ2的解析式为y=-■x-3.

三、成比例线段法

例2中的第三问还可以用下面的方法解答.

分两种情况:

如图③所示:当PQ∥AC时,则由△OPQ∽△OCA得■=■,

∴OQ=■=■=■,

∴点Q的坐标为(-■,0),再设PQ的解析式为y=kx+b,将点P、Q的坐标分别
代入解析式,有

b=-3-■k+b=0解得b=-3k=-■

∴直线PQ的解析式为y=-■x-3.

当AP∥QC时,则由△OAP∽△OQC得■=■,

∴OQ=■=■=36.

∴点Q的坐标为(-36,0),利用待定系数法可确定此时直线PQ2的解析式为
y=-■x-3.

评注:此题在解关于“是否存在”的问题时解法灵活,既可以利用“解析法”中两
直线平行的特点,并以一次项系数k相同作中间桥梁进行解答,又可以利用平行线
等分线段定理确定线段的长度,进而得到解析式.

四、图象法

例3如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物
线与x轴相交于0、M两点,OM=4,矩形ABCD的边BC在线段OM上,点A、O
在抛物线上.

(1)请写出P、M两点的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)