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第三章杆件的内力计算

内力的大小及其分布规律与杆件的变形与失效密切相关，因此内力分析是解决构件承载能
力的基础。本章主要研究杆件的内力及其沿杆件轴线的变化规律，以便为杆件的强度、刚度和稳
定性计算提供基础。
内容提要

一、内力与截面法
１畅内力的概念

作用于杆件上的载荷和支座约束力称为外力。由外力引起的杆件内部作用力的改变量，称
为附加内力，简称为内力。
机械工程力学主要研究受力杆件横截面上的内力。根据连续性假设可知，内力在横截面上
是连续分布的，组成一分布内力系，通常所说的内力是指该分布内力系的简化结果。
２畅截面法

将杆件假想地截开以显示内力，并由平衡方程确定内力的方法，称为截面法，它是计算杆件
内力的基本方法，其步骤可归结为：
（１截）———沿欲求内力的截面假想地将杆件截为两部分；
（２取）———任取其中一部分为研究对象；
（３）代———用欲求的内力代替另一部分对研究对象的作用；
（４）平———列出研究对象的平衡方程，确定内力的大小和方向。

应用截面法时应注意：
（１截面）不能取在集中力或集中力偶的作用面上；
（２未）知的内力均设为正。
二、轴向拉压杆的内力与内力图
１畅轴向拉压杆件的受力与变形特征

杆件是直杆，作用于杆件上的外力合力作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸
长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，这类杆件称为拉杆或压杆。
２畅拉压杆横截面上的内力———轴力

杆件轴向拉伸或压缩时，横截面上的内力与轴线重合，这种与杆件轴线重合的内力称为轴

力，用FＮ表示。
使杆件受拉伸时的轴力为正，此时轴力背离截面，称为拉力；使杆件受压缩时的轴力为负，此
时轴力指向截面，称为压力。
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截面法是计算轴力的基本方法。在截面法的基础上可总结出由截面一侧的外力直接计算轴
力的方法，称为简捷法。拉压杆任一截面的轴力，等于该截面一侧（左侧或右侧）杆上所有外力
的代数和。其中，背离截面的外力产生正的轴力，指向截面的外力产生负的轴力。
３畅轴力图
表示横截面上轴力的大小，
用平行于杆件轴线的x轴表示横截面的位置，垂直于x轴的FＮ
坐标系中按选定的比例画出轴力沿轴线方向变化的图形，称为轴力图。
在x－FＮ
画轴力图的步骤：求约束力→分段（外力作用点为分界点）→求各段的轴力→逐段作出轴
力图。
三、梁的内力与内力图
１畅弯曲变形的概念

杆件受到垂直于轴线的外力或作用面在轴线所在平面内的外力偶作用时，杆件的轴线将由
直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的构件称为梁。
２畅平面弯曲的概念

工程中常见的梁，其横截面大多至少有一根对称轴，如图３－１（ａ）所示。截面的对称轴与梁
的轴线所确定的平面称为梁的纵向对称面，见图３－１（ｂ）。若梁上所有外力（包括外力偶）都作
用在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将是位于纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称
为平面弯曲，它是弯曲问题中最常见和最简单的情况。

图３－１
３畅单跨静定梁的基本形式

作用在梁上的外力包括载荷与支座约束力，仅由平衡方程可求出全部支座约束力和内力的
梁称为静定梁。单跨静定梁按其支座形式可分为以下三种：
（１）简支梁———一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。
（２）外伸梁———一端或两端有外伸部分的简支梁。
（３）悬臂梁———一端固定，另一端自由的梁。
４畅梁的内力———剪力和弯矩

一般情况下，平面弯曲梁截面上有两个内力分量，如图３－２所示。与截面相切的内力分量，
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表示；作用面在纵向对称面内的内力偶，称为弯矩，用M表示。
称为剪力，用FＱ

图３－２
剪力和弯矩的正、负号规定：在横截面的内侧截取微段梁，凡使微段梁发生左侧向上、右侧
向下相对错动变形的剪力为正，反之为负，分别如图３－３（ａ）、（ｂ）所示；使微段梁产生上凹下凸
弯曲变形的弯矩为正，反之为负，分别如图３－３（ｃ）、（ｄ）所示。按此规定，正的剪力使微段梁产
生顺时针方向的转动。如果将梁设想成由无数纵向纤维所组成，正的弯矩使梁下侧的纵向纤维
受拉，上侧的纵向纤维受压。

图３－３
截面法是计算梁剪力和弯矩的基本方法。在截面法的基础上可总结出由截面一侧的外力直
接计算剪力和弯矩的方法，称为简捷法。
（１）梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧（左侧或右侧）所有横向外力的代数和。其

中，截面以左向上的外力或截面以右向下的外力在该截面上产生正的剪力，即“左上右下，剪力
为正”；反之，则产生负的剪力。
（２）梁内任一横截面的弯矩，等于截面一侧（左侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面

形心力矩的代数和。其中，截面以左对截面形心顺时针的力矩或截面以右对截面形心逆时针的
力矩，在该截面上产生正的弯矩，即“左顺右逆，弯矩为正”；反之，产生负的弯矩。或向上的