2024年广东省北大附中深圳南山分校高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.docx

2024年广东省北大附中深圳南山分校高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2B.4C.8D.162、若数列满足，，则数列的通项公式为（）A.B.C.D.3、设数列的前项和为，且，则（）A.B.C.D.4、若等轴双曲线C过点，则双曲线C的顶点到其渐近线的距离为（）A.1B.C.D.25、已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A.B.C.3D.6、已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（）A.4B.3C.2D.17、等差数列中，若，，则等于（）A.B.C.D.8、已知双曲线的离心率为2，则（）A.2B.C.D.19、若平面的一个法向量为，点，，，，到平面的距离为（）A.1B.2C.3D.410、已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（）A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11、若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为___________.12、已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，则的面积为___________.13、若、是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.14、已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则__________.15、在数列中，，，则数列中最大项的数值为__________16、“直线和直线垂直”的充要条件是______三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）17、已知函数（1）当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围18、已知直线与双曲线交于，两点，为坐标原点（1）当时，求线段的长；（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求的值19、在中，其顶点坐标为.（1）求直线的方程；（2）求的面积.20、已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.21、如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.参考答案一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、答案：A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A2、答案：B【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故选：B3、答案：C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【详解】当时，.当时，.故选：C.4、答案：A【解析】先求出双曲线C的标准方程，再求顶点到其渐近线的距离.【详解】设等轴双曲线C的标准方程为，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为，故上顶点到其一条渐近线的距离为.故选：A5、答案：C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C6、答案：C【解析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以故选：C7、答案：C【解析】由等差数列下标和性质可得.【详解】因为，，所以.故选：C8、答案：D【解析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求.【详解】由双曲线方程可知，因为，所以，解得：，又，所以.故选：D【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法：直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.9、答案：B【解析】求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果【详解】解：，，，，∴为平面的一条斜线，且∴点到平面的距离：故选：B.10、答案：D【解析】根据三视图还原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球体体积公式即可得解.【详解】根据三视图还原原几何体，如下图所示：由图可知，该几何体三棱锥，且平面，将三棱锥补成长方体，所以，三棱锥的外接球直径为，故，因此，该几何体的外接球的体积为.故选：D【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解