2024年广东省北大附中深圳南山分校高二数学期末学业水平测试试题含解析.docx

2024年广东省北大附中深圳南山分校高二数学期末学业水平测试试题含解析一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（）A.B.C.D.2、已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A.B.C.D.3、如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）A.1B.C.D.4、已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（）A.B.C.D.5、设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（）A.B.C.D.6、已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A.B.2C.或2D.或7、若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A.B.1C.D.28、设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路所在直线方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（）A.B.C.D.9、已知等比数列满足，，则（）A.21B.42C.63D.8410、用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11、已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______12、若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.13、如图，四边形为直角梯形，且，为正方形，且平面平面，，，，则______，直线与平面所成角的正弦值为______14、若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________；若，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.15、已知函数有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.16、已知椭圆的左、右焦点为，过作x轴垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________.三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）17、已知椭圆过点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点①若，求；②求的值18、小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)19、已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l是的外角平分线，过左焦点作l的垂线，垂足为N，延长交直线于点M，（其中O为坐标原点），椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围.20、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量.21、已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点E在椭圆C上，且，，.（1）求椭圆C的方程：（2）直线l过点，交椭圆于点A，B，且点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.参考答案一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、答案：C【解析】列举出所有情况，然后根据两边之和大于第三边数出能构成三角形的情况，进而得到答案.【详解】5个数取3个数的所有情况如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10种情况，而能构成三角形的情况有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3种情况，故所求概率.故选：C.2、答案：A【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.故答案为A.【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.3、答案：A【解析】设点A到平面PBC的距离为，根据等体积法求解即可.【详解】因为平面ABC，所以,因为，，所以又，，所以,所以,设点A到平面PBC的距离为，则,即,，故选：A4、答案：A【解析】设椭圆另一个焦点为，连接，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆中，，，，如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，因为、分别为、的中点，则，则的周长为，故选：A.5、答案：B【解析】当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.【详解】当时，，解得：；当时，由得：，即，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：，，经检验：满足，，故选：B.6、答案：C【解析】根据成等比数列求