新东方考研高等数学讲义.docx

新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材
高等数学

引言
我们根据考研数学的考试大纲和历年真题，归纳出所需的数学概念、方法和技巧分为（甲）内容要点和（乙）典型例题两大部分来体现。又分为基础班、强化班和冲刺班三个阶段。这次基础班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其内容安排如下：

第一章函数、极限、连续（全体）
第二章一元函数微分学（全体）

第三章一元函数积分学（全体）

常微分方程（全体）

第五章向量代数与空间解析几何（数学一）

第六章多元函数微分学（全体）
第七章多元函数积分学

§7．1二重积分（全体）

§7．2三重积分

§7．3曲线积分

§7．4曲面积分（数学一）

第八章无穷级数（数学一和数学三）
参考书：《新东方考研数学直通车》第I卷《高等数学》
汪诚义编北京新东方大愚文化传播有限公司出版
（2005年4月）

考研数学基础班

高等数学

第一章函数、极限、连续

§1．1函数

甲内容要点

一．函数的概念

1．函数的定义

设是一个非空的实数集，如果有一个对应规则，对每一个，都能对应唯一的一个实数，则这个对应规则称为定义在上的一个函数，记以，称为函数的自变量，为函数的因变量或函数值，称为函数的定义域，并把实数集

称为函数的值域

2．分段函数

如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。
例如
是一个分段函数，它有两个分段点，和，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
又，
，都是分段函数

3．隐函数

形如的函数称为显函数，由方程确定称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，例如，，（不一定一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4．反函数

如果可以解出是一个函数（单值）则称它为的反函数，记以。有时也用表示，例如解出，而解出

二．基本初等函数

1．常值函数（常数）
2．幂函数（常数）
3．指数函数(,常数)
（，无理数）

4．对数函数（常数）
常用对数
自然对数

5．三角函数；；；
；；。
6．反三角函数；；
；。

关于基本初等函数的概念，性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会用；；；；等等。就需要关于，，的图象很清晰。

三．复合函数与初等函数

1．复合函数

设定义域
定义域，值域
如果，则是定义在上的一个复合函数。其中称为中间变量。

2．初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。

四．考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

（1）
（2）

2．用变上、下限积分表示的函数

（1），其中连续，则
（2），其中，可导，连续，
则

五．函数的几种性质

1．有界性：

设函数在内有定义，若存在正数，使都有则称在上是有界的。

2．奇偶性：

设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数；若对，都有，则称在上是偶函数、奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称。

3．单调性：

设在上有定义，若对任意，，都有则称在上是单调增加的[单调减少的]；若对任意，，都有则称在上是单调不减[单调不增]。
（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4．周期性：

设在上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称为的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

乙典型例题

一．求函数的定义域

例1．求函数的定义域

例2．求的定义域

例3．设的定义域为，求的定义域

例4．设求的定义域，并求。

二．求函数的值域

例1．求的值域

例2．求的值域，并求它的反函数

三．求复合函数有关表达式

1．已知和，求
例1．已知，求

例2．设，求
例3．设，求

2．已知和，求
例1．设，求

例2．已知，且，求

例3．设，求

例4．已知，求证

3．已知和，求
例．已知，，求
解：实际上为求反函数问题
，

4．有关复合函数方程

例．设，求

四．有关四种性质

例1．设，则下列结论正确的是[]
（A）若为奇函数，则为偶函数。
（B）若为偶函数，则为奇函数。
（C）若为周期函数，则为周期函数。
（D）若为单调函数，则为单调函数。
解：（B）不成立，反例，
（C）不成立，反例，
（D）不成立，反例，在内
（A）成立。证明：，为奇函数

为偶函数。
例2．求

§1.2极限

甲内容要点

一．极限的概念与基本性质

1．极限的定义

（1