《竞赛数学中的初等数论》.doc

《竞赛数学中的初等数论》

贾广素编著

2006-8-21

序言

数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO试题中有5道与数论有关。
数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。
初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要我们多见识，以及学习大量的解题技巧。这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于，满足，其中。
除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。

编者：贾广素
2006-8-21于山东济宁

第一节整数的p进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：
，其中且。而仍然为十进制数字，简记为。
典例分析
例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
分析与解答
分析：用2作为除数（若化为p进位制就以p作为除数），除2004商1002，余数为0；再用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。
解：
各次商数被除数除数013715316212525050110022004211111010100各次余数故，；
同理，有，。
处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。
例2．求满足的所有三位数。（1988年上海市竞赛试题）
解：由于，则，从而；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
于是所求的三位数只有512。
例3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
（1979年云南省竞赛题）
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为，则
原数=1\*GB3①
颠倒后的新数=2\*GB3②
由=2\*GB3②－=1\*GB3①得7812＝
即=3\*GB3③
比较=3\*GB3③式两端百位、十位、个位数字得
由于原四位数的千位数字不能为0，所以，从而，又显然百位数字，所以。所以所求的原四位数为1979。
例4．递增数列1,3，4,9，10,12,13，……是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若个不同的3的幂之和，求该数列的第100项。（第4届美国数学邀请赛试题）
解：将已知数列写成3的方幂形式：

易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示：
即
由于100＝
所以原数列的第100项为。
例5．1987可以在b进制中写成三位数，如果，试确定所有可能的和。（1987年加拿大数学竞赛试题）
解：易知，从而，
即，
由知。由知故；
又因为有12个正约数，分别为1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以，从而。
又由知
例6．设是五位数（第一个数码不是零），是由取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确定一切使得是整数。（第3届加拿大数学竞赛试题）
解：设，其中且；；
而