数学---初等数论.ppt

大学数学初等数论序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（ElementaryNumberTheory）。初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。“数学是科学之王，数论是数学之王”。-----高斯欧几里德高斯费马拉格朗日毕达格拉斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。第一章整数的整除性§1.1整除的概念二、整除2、整除的性质3、质数、合数4、带余除法§1.2最大公因数和辗转相除法2、互质3、最大公因数的性质4、辗转相除法一个推论例1：求（735000，238948）.例2：求（2605，-5125）.例3：求（2605，3245，7250）.练习§1.3最小公倍数一、定义二、最小公倍数的性质例1：求[3468,24871].例2：求[128，234，524].习题§1.4整数可除性的检验进位制进位制二、可除性判别方法二、可除性判别方法第二章不定方程§2.1二元一次不定方程二、非齐次方程例1三、有整数解的充要条件两个推论例2：判断下列不定方程有没有整数解。四、整数分离法解不定方程例3例4:解下列不定方程五、不定方程组例2：求解不定方程组习题§2.2多元一次不定方程2、三元一次不定方程的通解一般解法第三章同余§3.1同余的概念和性质二、同余的性质定理同余关系是等价关系，即
(1)自反性a≡a(modm)。
(2)对称性若a≡b(modm)，则b≡a(modm)。
(3)传递性若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)。
定理设a、b、c、d为整数，m为正整数，若a≡b(modm)，
c≡d(modm)，则：
(1)ax＋cy≡bx＋dy(modm)，x、y为任意整数，即同余式可以相加；
(2)ac≡bd(modm)，即同余式可以相乘；
(3)an≡bn(modm)，n＞0；
(4)f(a)≡f(b)(modm)，f(x)为任一整系数多项式。
证明(1)因为a≡b(modm)，c≡d(modm)，所以m|(a－b)，m|(c－d)，于是m|((a－b)x＋(c－d)y)，即m|((ax＋cy)－(bx＋dy))，故ax＋cy≡bx＋dy(modm)。
(2)因为a≡b(modm)，c≡d(modm)，所以m|(a－b)，m|(c－d)，于是m|((a－b)c＋(c－d)b)，即m|(ac－bd)，故ac≡bd(modm)。例2：求使2n+1能被3整除的一切自然数n.孙子定理和大衍求一术