函数的单调性活动单（改版）.doc

第三节函数的单调性与最值
学习目标：1.了解函数单调性的概念．
2.掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能运用函数的单调性解决一些问题.
3.理解函数最值的定义，会求某些函数的最值．
活动一、知识点回顾
（一）函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数减函数定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D
上是增函数当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象
描述

自左向右看图象是逐渐上升
自左向右看图象是逐渐下降
2.单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在
这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间.
（二）函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条
件①对于任意x∈I，都有
②存在x0∈I，使得①对于任意x∈I，都有
②存在x0∈I，使得结论M为最大值M为最小值
活动二：基础自测
1.下列四个函数在上为增函数的是（）
；②；③；④．
2.函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间是
3.函数f(x)＝lg(x2－3x)的单调递增区间是________．
4.y＝eq\f(1－x,1＋x)的递减区间是________，y＝eq\r(\f(1－x,1＋x))的递减区间是________．
5.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围为
6.函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是
7.函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么的取值范围为
8.已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,2]上最大值为m，最小值为n，则m＋n等于.
9.定义在R的奇函数f(x)单调递增，且对任意实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝________.
10.若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为.
11.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为
12.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为
13.已知函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．
活动三：典型剖析
（考点一）函数单调性的判定与证明
利用单调性的定义证明函数在上是减函数.

探究：试讨论函数f(x)＝的单调性(其中a≠0).

（考点二）求函数的单调区间

例二．求下列函数的单调区间
（1）；
（2）；
（3）.

对于复合函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y=f(u)在区间(g(a)，g(b))(或(g(b)，g(a)))上是单调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性如下表所示，实施该法则时首先应考虑函数的________.

小结：确定函数的单调区间的方法有：
(1)定义法
(2)导数法
(3)利用复合函数的单调性求解
(4)利用单调性的性质求解
(5)利用函数的图像求解
（考点三）函数的最值
例三．已知.
(1)当时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

探究：已知函数，
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值.

(考点四)解不等式
若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)<f(m2)的实数m的取值范围是.

已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是
已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是
已知函数对且，都有则实数a的取值范围是

变式：已知函数对且，都有则实数a的取值范围是

活动四：课后巩固提升
1.求出下列函数的单调区间
(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；
(2)f(x)＝log2(x2－1).
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(4)f(x)＝log2(6＋x－2x2).

5.已知f(x)为R上的减函数，那么满足f(|eq\f(1,x)|)<f(1)的实数x的取值范围是
6.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．

7.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((2－a)x＋1，(x<1)，,ax，(x≥1)，))是R上的增函数，那么