《最高考系列》2021届高考数学总复习课时训练：第9章-平面解析几何第4课时-圆-的-方-程-.docx

第九章平面解析几何第4课时圆的方程1.已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是__．答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13解析：由题意可知一条直径的两个端点分别为(4，0)和(0，－6)，则直径长为eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.2.圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)、B(0，－2)两点，则圆C的方程为____．答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析：圆心既在线段AB的垂直平分线即y＝－3上，又在2x－y－7＝0上，即圆心坐标为(2，－3)，r＝eq\r(5).3.已知点A是Rt△ABC的直角顶点，且A(a，2)，B(－4，a)，C(a＋1，1)，则△ABC的外接圆的方程是__．答案：(x＋2)2＋y2＝5解析：kAB＝eq\f(a－2,－4－a)，kAC＝－1.∵AB⊥AC，∴kAB·kAC＝eq\f(a－2,－4－a)·(－1)＝－1，解得a＝－1.∴△ABC的外接圆是以B(－4，－1)，C(0，1)为直径的圆，∴所求圆的方程是(x＋2)2＋y2＝5.4.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是__．答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1解析：依题意设圆心C(a，1)(a＞0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.5.假如三角形三个顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(－8，0)，则它的内切圆方程为____________．答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝9解析：由于△AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝eq\f(OA＋OB－AB,2)＝eq\f(15＋8－17,2)＝3，圆心坐标为(－3，3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.6.已知x、y满足x2＋y2＝1，则eq\f(y－2,x－1)的最小值为________．答案：eq\f(3,4)解析：eq\f(y－2,x－1)表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，所以eq\f(y－2,x－1)的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由eq\f(|2－k|,\r(k2＋1))＝1得k＝eq\f(3,4)，结合图形可知，eq\f(y－2,x－1)≥eq\f(3,4)，故最小值为eq\f(3,4).7.由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当PT最小时，点P的坐标是________．答案：(0，2)解析：依据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PT＝eq\r(PC2－1)，故PT最小时，即PC最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝－x＋2，))解得点P的坐标为(0，2)．8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．答案：10eq\r(2)解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是eq\r(10)，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD＝2eq\r(10－（12＋22）)＝2eq\r(5)(注：过圆内确定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC＝2eq\r(10)，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积为eq\f(1,2)AC×BD＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).9.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝4eq\r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又∵直径CD＝4eq\r(10)，∴PA＝2eq\r(10)，∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.