导数在函数中的应用极值与最值.doc

利用导数求函数的极值与最值
【基础知识】
1．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程________的根；
③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的________；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【基础训练】
1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则关于y＝f(x)下列说法正确的是________(填序号)．

①在(－∞，0)上为减函数；
②在x＝0处取极小值；
③在(4，＋∞)上为减函数；
④在x＝2处取极大值．

2．若函数f(x)＝x3-3x+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___________

3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________

【典型例题】
例1．若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－eq\f(4,3).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．

变式：设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

例2已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝eq\f(2,3)时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

变式：设f（x）=x3+mx2+nx．（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；（2）如果m+n＜10（m，n∈N+），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a）