定积分——定积分的应用-.docx

第PAGE\*MERGEFORMAT6页定积分——定积分的应用1、第五讲定积分的应用?内容提要1.元素法；2.平面图形的面积；3.立体的体积。?教学要求1.娴熟把握应用微元法去解决积分中的实际应用题；2.生疏各种平面面积的积分表达方法；3.娴熟把握应用微元法求体积的方法；4.能用定积分表达某些物理量。回忆用定积分求曲边梯形面积的问题：设y?f(x)在[a,b]上连续，且f(x)?0，那么由曲线y?f(x)、及直线x?a,x?b,y?0所围成的曲边梯形的面积yy?f(x)bA?f(x)dx?aA其求解步骤如下：oabx第一步：分割将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi?1,xi](i?1,2,?,n)由此曲边梯形就相应地分成n个小曲边梯形。所求的曲边梯形面积2、A为每个小曲边梯n形面积之和y即A???Aiy?f(x)i?1其次步：近似任取??i[xi?1,xi]?Ai以为高，为底oaxf(?i)?xi?xi?1?xii?1?ixibx近似代替小曲边梯形面积的小矩形面积f(?i)?xi即?Ai?Ai?f(?i)?xi第三步：求和yy?f(x)nA??f(?i)?xi.i?1?Ai第四步：取极限oaxi?1?ixibxnbA?lim?f(?i)?xi?f(x)dx其中??max{?x}???ai0i?11?i?n总结：上述四步中，由第一步知，所求面积A这个量与[a,b]有关，假设把区间[a,b]分成很多小区间，那么所求的面积A这个量就相应地分成很多部重量3、，而A是全部部重量的和，这种性质称为所求量A对区间[a,b]具有可加性.[a,b]是定积分的积分区间。上述其次步中的近似表达式?Ai?f(?i)?xi可确定定积分的被积表达式f(x)dx方法是：取于是有?i?xi?1,?Ai?f(xi?1)?xiyy?f(x)再将区间记为[xi?1,xi][x,x?dx]dA?Ai那么?Ai?f(xi?1)?xi可写为oax?bx??i?1ixiAf(x)dxxx?dx称f(x)dx为面积A的微元，记为dA即dA?f(x)dx就是定积分的被积表达式bb于是A?dA?fxdx?a?a()一般地，当所求量F符合以下条件：(1)F是与变量x的转变区间[a,b]有关的4、量；(2)F对于区间[a,b]具有可加性，即假设把[a,b]分成很多局部区间，那么F相应地分成很多部重量，而F等于很多部重量的和；这是量F可以用定积分表示的前提.(3)在[a,b]的任意小区间[x,x?dx]上，相应重量?F的近似值可表示为f(x)dx，将f(x)dx称为F的微元,且记作dF,即dF?f(x)dx.这就给出了定积分的被积表达式f(x)dxbb于是F?dF?fxdx?a?a()以上方法称为“微元法〞微元法解决实际问题的一般步骤如下：(1)依据问题的具体状况，选取一个变量例如取x为积分变量，并确定它的转变区间[a,b];(2)在[a,b]上任取一个小区间[x,x?dx]，求出所求量5、F的微元f(x)dx，bb(3)F?dF?fxdx?a?a()以上步骤要娴熟把握!留意微元法解决实际问题的使用对象：具有可加性的量如：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；变力做功；液体的压力；引力和平均值;等等.二、平面图形的面积〔一〕、在直角坐标系下的面积问题1.f(x)在[a,b]上所围的面积y?1〕假设在[a,b]上f(x)?0yf(x)bS那么S??f(x)dxaoabx2)假设在[a,b]上f(x)?0，yabb那么f(x)dx??Sox?aSb即S??f(x)dx??ayf(x)3)假设f(x)在[a,b]区间上时正时负，如图b那么fxdx?S?S?a()12b??|f(x)|dxS16、S2??ayy?f(x)S1oabxS22.由f(x),g(x)及x?a,x?b所围平面图形面积.设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，且f(x)?g(x)，求由曲线y?f(x),y?g(x)及直线x?a,x?b所围成的平面图形面积A.用微元法：yy?f(x)取x为积分变量.dA?[f(x)?g(x)]dx??oaxx?dxbxbA?fx?gxdx?a[()()]y?g(x)熟记求由x??(y),x??(y〔)且?〔y〕??(y))及直线y?c,y?d所围成的平面图形面积A.y用微元法：d取为积分变量y.y?dy?dAx??(y)dA?[?(y)??(y)]dyy?oxdx??(y)A?[7、?(y)??(y)]dy?cc熟记例1计算由抛物线y?x,x?1,x轴所围成的图形的面积A.解用微元法y?x取x为积分变量，dA积分区间为[0,1].??xx?dx1dA?xdx112A??dA??xdx?003例2计算由两条抛物线y2?x和y?x2所围成的图形的面积A.解方法一：选择作积分变量xy