常微分方程的解法及应用_(常见解法及举实例)——高数论文.pdf

华北水利水电学院

常微分方程的解法及应用

（常见解法及举实例）

课程名称：高等数学（2）

专业班级：

成员组成：

联系方式：

2012年05月25日

摘要

常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。求解
常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代
换，达到降阶的目的来解决问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统
总结：先对常微分方程

定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶
法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程
的应用。

关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性

英文题目：

Thesolutionofordinarydifferentialequationsanditsapplication

（Commonsolutionandexamples）

Abstract:Ordinarydifferentialequationisanimportantpartof
calculus,widelyusedinspecificproblemsinthestudy.Solving
differentialproblem,oftenthroughthevariableseparation,bothsides
integral,ifishighlevel,throughtheappropriatevariable
substitution,achievethepurposeofthereducedordertosolvethe
problem.Thisarticleistodifferenttypesofordinarydifferential
equationofthesolutionsystemconclusion:firstdefinitionofordinary
differentialequationandthegeneralsolutiondosimplepaper,then
applyvariablesubstitutionmethodofhomogeneoussolutionof
differentialequation,andthereducedordermethodforhighorder
ordinarydifferentialequation,discussionspecialsecondorder
differentialequations,anduseaspecificexampleanalysisofthe
applicationofordinarydifferentialequations.

Keywords:Differentialequations、Reduced-ordermethod、Variable
substitutionmethod、Homogeneous、Firstorderlinear

1、引言

微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不
能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建
立一个含有未知函数或微分的关系式。这样的关系式，我们称其为微分方程。再通
过积分等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数，即求解微分方程

。这就是本文要讨论的问题。

2、研究问题及成果

2.1一阶微分方程

2.1.1变量可分离的微分方程

形如

的方程，称为变量分离方程，

，

分别是

，

的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果

，我们可将(

)改写成

，这样变量就分离开来了.两边积分，得到

，

为任意常数．由该式所确定的函数关系式

就是常微分方程的解．

例1：求解

的通解。

解：

→

→

→通解：

2.1.2齐次型微分方程（变量代换的思想）

一阶微分方程可以化成

的形式。

求解：

，

（可分离变量）

通解

例2：解方程

2.1.3一阶线性微分方程

若

，称为一阶齐次线性微分方程。

若

（

），称为一阶非齐次线性微分方程。

一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个
特解之和。

解

的通解如下：可分离变量的一阶微分方程

（齐次方程通解）采用积分因子法求

的一个特解如下

（

）的通解为：

2.1.4伯努利方程

形如：

当

时，

一阶线性微分方程（公式法）

当

时，

可分离变量微分方程

求通解过程：

作变量代换