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复变函数习题总汇与参考答案

第1章复数与复变函数

一、单项选择题

1、若Z=（a,b）,Z=(c,d),则Z·Z=（C）
1212
A（ac+bd,a）B(ac-bd,b)

C（ac-bd,ac+bd）D(ac+bd,bc-ad)

2、若R>0，则N（∞，R）={z：（D）}

A|z|<RB0<|z|<R

CR<|z|<+∞D|z|>R

3、若z=x+iy,则y=(D)
zz
A2zBzzzCzzD
22i2i

(4i)(1i)
4、若A=(4i)(1i)，则|A|=（C）

A3B0C1D2

二、填空题

1、若z=x+iy,w=z=u+iv,则v=（2xy）
2
2、复平面上满足Rez=4的点集为（{z=x+iy|x=4}）

3、（设E为点集，若它是开集，且是连通的，则E）称为区域。

4、设z=x+iy,z=x+iy(n=1,2,……)，则{z}以z为极限的充
000nnnno
limlim
nn

分必要条件是x=x，且y=y。
n0n0

三、计算题

1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-1(1)(1)2
1i在第三象限
|-1-i|=15
ary(1,i)arctan||
14

2、写出复数-i的三角式。
33
icosisin
解：22

i1i

1ii
3、写出复数的代数式。

解：
i1ii(1i)(1i)i

1ii(1i)(1i)ii

11
ii1
22
31
i
22

4、求根式327的值。

解：3273
arg(27)
z27的三次根的值为


i
W3e33(cosisin)
033

四、证明题
xyi
1、证明若abi，则a2+b2=1。
xyi

xyixyi
证明：abi|abi|||
xyixyi

|abi|a2b2
而

xyix2y2
1
xyix2y2

a2b21

a2b21

zz2z2z22Re(zz)
3、证明：121212

证明：zz2(zz)(zz)(zz)(zz)
1212121212
zzzzzzzz
11221221
z2z2zzzz
121221
设zabi则zabi
11
zxyi则zxyi
22
zzzz(abi)(xyi)(xyi)(abi)
1221
axby(bxay)iaxby(bxay)i

2(axby)2Re(zz)
12
zz2z2z22Re(zz)
121212

第2章解析函数

一、单项选择题

1．若f(z)=x2-y2+2xyi,则f(z)(D)

2、若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则柯西—黎曼条件为（D）

uuvvuuvv
A且B且
xyxyxyxy

uvuvuvuv
且且
CyxxxDxyyx

3、若f(z)=z+1,则f(z)在复平面上（C）

A仅在点z=0解析B无处解析

C处处解析D在z=0不解析且在z≠0解析

4、若f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)

在复平面上（C）

A解析B可导

C连续D不连续

二、填空题

1、若f(z)在点a不解析，则称a为f(z)的奇点。

2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。

3、若f(z)=z2+2z+1，则f(z)2z2

7
4、若f(z)，则f(1)不存在。
(z1)(z2)

三、计算题：
f(0)f(0)
lim
1、设f(z)=zRe(z),求z0

f(0)f(0)Re()
解：lim=lim
z0
z0

limRe()0
z0
2、设f(z)=excosy+iexsiny,求f(z)

解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy

u=excosyv=exsiny

f(z)=u+iv

uv
excosy
xy
uv
exsiny
yy

f(z)excosyie

∴f(z)在复平面解析，且f(z)=excosy+iex