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此余数非彼余数
在除法算式的计算结果不用小数表示时，学生们一般都是用余数来表示多余的部分，一般在四年级以前学生都是这样处理，似乎也没有遇到什么问题，但如果仔细思考这其中还是会出现一些小“矛盾”的。例如：
例1：
=300÷6÷7

=50÷7

=7……1

300÷42=7……6300÷42

6

同样是300÷42为什么会出现两种不同的答案呢？用计算器计算各自的最后一步300÷42=7.14285……，50÷7=7.14285……，两题的答案完全一样，看来商没有争议，问题就出在余数上。如果用情景解释可能会更形象一些，300÷42表示300里面有几个42，当然是7个42还多出6了。当我们分解后却表示的50里面有几个7，结果也自然是7个还多出1个，问题就出在当我们分解除数42时这一题意义已经改变，与原题已经不同了，所以我们不能这样分解。但我们我们经常看到许多老师在讲解除法的性质时都会举例如下：
例2：
=560÷7÷2

=80÷2

=40

560÷14
0

当我们如右列竖式计算式发现此二题的商相同，为什么这里有可以这么分解呢？而且老师就是要求同学们这样分解？其实这里课本跟我们玩了个小小的概念“猫腻”——除法算式的结果和商其实是两个完全不同的概念。除法算式的结果指计算的最终状态，在除法算式300÷42中指的就是7……6，而此题的商仅指7，后面的6是余数，和商是两个概念。所以我们观察例1中两个算是它们的商其实是相同的都是7，变的只是是余数而已。如果一个除法算式的结果没有余数那么它的结果和商就相同了，从表面上刚看不出什么不同。也正是由于这个原因，在除法的商可以用小数表示之前，为避免学生混淆，教材和试题编写者设计的递等式计算其结果往往不会出现余数。
也许有同学会疑惑此两题的结果7……6和7……1都是随等号递等下来的，难道等号的传递性错了，等号的传递性肯定不会错，仔细想想当进入五年级以后，除法算式题目的答案还会不会写成余数的形式，教材一般要求写成小数或分数的形式，这说明用“带商+余数”这种形式表示结果只是小学低段的一种“权宜之计”这样表示从精确程度上讲并不准确，但却能很好的帮小孩子们理解题目的意思，所以一直就这样表示了。这样关于余数“变形”的例子在另一种计算中也常常遇到，很多初学者也是常常会“中招”。
例3：
300÷40=7……2030÷4=7……2
这一例题出现的频率要高一些，理解起来也容易一些。根据商不变的性质：被除数与除数同时除以10商不变。乍一看，两道算是的商怎么不一样？商不变的性质似乎也出错了，再看看，其实就是概念的问题，两道算是的商都是7，不同的是结果，7……20、7……2是它们的结果而不是商。
看来，递等式计算结果中的余数只对它的前一步骤是有意义的，对于原式已是谬以千里了。