导数与微分（一）导数的概念.doc

例1求曲线在曲线上的点处切线的斜率。

图4-1
在曲线上点的附近另取一点，连接和得割线，当沿曲线趋于时,割线的极限位置称为曲线在点的切线。
令，，则的斜率为，如果

存在，则此极限值就是曲线的切线的斜率。
设切线的倾角为，则

从另一角度，表示在区间（或）的平均变化率，极限称为函数在的变化率。
例2求变速直线运动的物体的瞬时速度。物体产生的位移是时间的函数，设运动方程为，求在时刻的速度。

定义设函数在点的邻域内有定义，当自变量从变到时，则函数得相应的增量，如果极限

存在，则称函数在点可导，并称此极限为函数在点的导数。记作，或，，，
即
如果记，则上式可写为
或记
则
如果上述极限不存在，则称函数在点不可导。
例3设在处可导
（1）
（2）则？
解（1）

（2）

例4设且则
解

例5证明：在处不可导。
解
在处不可导。
注意：函数在（0，0）
处的切线存在，斜率为，所以函数在处有
或时，有时
也称在处导数无穷大。图4-2左、右导数左导数

右导数

显然有，在处可导的充要条件是：在的左、右导数都存在且相等。
例6讨论函数在处的可导性。
解

在可导且
如果函数在区间内每一点都可导（闭区间时，左端点须右可导，右端点须左可导），则称函数在区间内可导，此时其导数值是随而变的函数，称为的导函数，简称导数，记作

而是的导函数在处的函数值。
用定义求函数的导数（函数），可分三步进行：
（1）求增量
（2）求比值
（3）求极限
例7求（为正整数）
解（应用二项式定理）

，所以
一般地有为任意实数。
例8求的导数。
解

所以
利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数，
列于书中141页公式表中，请大家背下来。
如：,
,,
,,
,,
,,
,,
,.
例9设，求
解

定理如果函数在点可导，则函数在点连续。
因为在点可导，
即

，
（增量公式）
即
所以时，。在处连续。
注：定理的逆不一定成立。既函数在点连续，却不一定可导。
例10函数，在点连续，但不可导。

所以在连续。图4-3

在处不可导。
例11讨论函数
在处的连续性与可导性。
解在处连续。

在处可导，且。
例12设问当为何值时，在
连续且可导。
解在处连续，则，

在处可导，则

在点的导数是曲线在点处切线的斜率。
所以在处的切线方程为

法线方程为
例13求在(-1，1)处的切线方程和法线方程。
解，
切线方程为
法线方程为
例14设曲线上的点处的切线平行于直线，
求点的坐标。
解因为曲线在点的切线平行于，
解出
所以点的坐标为。