高二数学竞赛模拟试卷（2）.doc

高二数学竞赛模拟试卷（2）班级姓名选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的反函数是（）2．集合由满足如下条件的函数组成：当时，有，对于两个函数，以下关系中成立的是（）中，则比式等于4．抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（）.5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则的最大值为（）.不能确定.6．函数的值域为（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若，则.8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为则9．为实数，满足，则的最大值为.10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为.11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设为正数，证明：14．已知二次函数（1）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记两数中较大者为P，试求P的最小值。15．设是质数，且的不同正因数的个数不超过个．求．高二数学竞赛模拟试卷（2）参考答案选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的反函数是（）答：C.解：由依次得，互易得.2．集合由满足如下条件的函数组成：当时，有，对于两个函数，以下关系中成立的是（）答：D.解：．，取，则.中，则比式等于答：解：如图易知，，因此选4．抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（）.答：．解：由以及得，5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则的最大值为（）.不能确定.答：．解：.（时取等号）6．函数的值域为（）答：.解：的定义域为则，令，则因，则.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若，则.答：.解：由条件得，则.8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为则答：.解：由，即当时，，所以，于是，9．为实数，满足，则的最大值为.答：.解：设，则，（当时取等号）.10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为.答：.解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有个数.11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.答：个“线段对”.解：任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；不含的侧面恰有两条中位线与异面；因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）.但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.答：种.解：将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。设有个扇形格的圆盘染五色的方法数为，则有，于是三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设为正数，证明：证：对归纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立，当时，对于任意个正数，据假设有，…5分所以只要证，…eq\o\ac(○,1)平方整理，只要证，…eq\o\ac(○,2)…10分由柯西不等式……………15分即所以即eq\o\ac(○,2)成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.………………………………20分14．已知二次函数（1）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标