高二数学竞赛试卷 试题-2.doc

广东省惠阳中山中学2006年高二数学竞赛试卷命题人：朱其山考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题）全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．选择题（本题满分36分每小题6分）1.在各项都为正数的等比数列中首项则()A.33B.72C.84D.1892.已知函数的图象过点（10）则的反函数一定过点（）A、（16）B、（61）C、（06）D、（60）3.下列三数的大小关系是()A.＜＜B.＜＜C.＜＜log1682D.＜＜4．函数的值域为（）5.已知且则的最小值是（）A、B、C、D、6.朝阳电器厂和红星电器厂2005年元月份的产值相等朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知2006年元月份两厂的产值又相同则2005年7月份产值高的工厂是（）A、朝阳电器厂B、红星电器厂C、两厂一样D、无法确定二、填空题（本题满分54分每小题9分）7．已知向量8．设函数且对任意则=_____________________。9.在长方体中点、、分别是棱、与的中点那么四面体的体积是____________.10．若则.11.在数列中＝2设为数列的前n项和则的值为12.设函数其中函数在上是单调递减函数；则的取值范围是_____________________.三、解答题（本题满分60分每小题20分）13.已知函数的定义域为值域为[－51]求常数a、b的值．14．已知满足且方程有两个相等的实数根.求函数的解析式;若求证：数列是等差数列；(3)求证：.15.（本小题满分20分）假设你正在某公司打工根据表现老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。（1）如果在该公司干10年问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言你会选择其中的哪一种？[参考答案]题号123456答案CACDCA一、1.略2.的图象过（01）所以的图象过（61）它的反函数图象过（16）3.略4.由已知得所以＝当且仅当即时取等号故当时有最小值5.解：的定义域为则令则因则.6.设两个工厂2005年元月份的产值为a朝阳电器厂每月增加的产值为d红星电器厂每月增加的百分率为q（q＞1）则a＋12d＝两个工厂2005年7月份的产值分别为a＋6d和而a＋6d＝故产值高的工厂是朝阳电器厂。二、7．8.9.10.911.312.7．略8.解：=即。9．解：在的延长线上取一点使.易证平面．故．而G到平面的距离为．故填．10.解：由条件得则.11.当n为偶数时故当n奇数时故故12.解：（1）设则设则显然.∵∴∵∴只需要就能使在上是单调递减函数；三、13.已知函数的定义域为值域为[－51]求常数a、b的值．解：∵………………………..4分∵∴∴．当a>0时b≤f(x)≤3a+b∴解得…………………………..12分当a<0时3a+b≤f(x)≤b．∴解得故a、b的值为或…………………………20分14．已知满足且方程有两个相等的实数根.求函数的解析式;若求证：数列是等差数列；(3)求证：.解：(1)令x=1则由得又f(1)=1得a+b=2由得且∵方程有两个相等的实数根有两个相等的实数根从而b=1a=1.于是…………………6分(2)由已知∴数列是以为首项公差为1的等差数列.………………12分(3)由(2)知………………14分从而……………………20分15.（本小题满分20分）假设你正在某公司打工根据表现老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。（1）如果在该公司干10年问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言你会选择其中的哪一种？解：设方案一第n年年末加薪因为每年末加薪1000元则=1000n；设方案二第n个半年加薪因为每半年加薪300元则=300n；(1)在该公司干10年(20个半年)方案1共加薪=55000元。方案2共加薪=20×300＋=6300