一类具有标准发生率的SIR传染病模型的全局分析.pdf

第２４卷第５期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２０１１

·大学教学·
一类具有标准发生率的ＳＩＲ传染病模型的全局分析

徐娟
（扬州工业职业技术学院基础部，江苏扬州２２５００７）

摘要：根据传染病在不同阶段的特点以及染病者相互可以转化的特性，建立了一类具有标
准发生率的ＳＩＲ传染病模型。借助再生矩阵求得了模型的基本再生数，并讨论了平衡点的存在性
和全局稳定性。
关键词：传染病模型；平衡点；全局稳定性
中图分类号：Ｏ１７５文献标识码：Ａ文章编号：１００６－７３５３（２０１１）０５－００６１－０２

模型点＊＊
１：Ｍ０（０，０），Ｍ１（Ｓ，Ｉ）
建立传染病动力学模型对传染病的流行规律２
＊ε（＋ｂ）－（＋ｂ）（＋ε）＊
其中Ｓ＝βμμμ，Ｉ
进行定性定量的研究是一种重要方法。本文研究βε（μ＋ｂ＋ε）
的是具有标准发生率的模型ε－（＋ε）（＋ｂ）
ＳＩＲ，ｘ（ｔ），ｙ１（ｔ），βμμ
＝（）
分别表示时刻易感者和两类染病者的人βμ＋ｂ＋ε
ｙ２（ｔ）ｔ
数染病但不具传染力具有传染力且定理令βε
，ｙ１，ｙ２，ｙ１１Ｒ０＝
（μ＋ε）（μ＋ｂ）
会向转化
ｙ２。当时系统有唯一无病平衡点
Ｒ０１，（２）
βｘｙ２
烄ｘ′（ｔ）＝Ａ－ｘ－Ｍ０（０，０）；
μＮ
当时系统除外还有地方病平
Ｒ０１，（２）Ｍ０
βｘｙ２（１）
烅ｙ′１（ｘ）＝－ｙ１－εｙ１衡点＊＊
ＮμＭ１（Ｓ，Ｉ）；
３平衡点的局部稳定性
烆ｙ′２（ｘ）＝εｙ１－μｙ２－ｂｙ２
定理当时无病平衡点
其中为种群输入率为自然死亡率为２Ｒ０１，Ｍ０（０，０）
Ａ，μ，ｂ
因病死亡率为类向类的转化率局部渐近稳定。
，εｙ１ｙ２。
证明系统在处的线性近似系统对
对系统进行无量纲变换：（２）Ｍ０
应的系数矩阵是：
ｘｙ１ｙ２
Ｘ＝，Ｓ＝，Ｉ＝
ＮＮＮ－（μ＋ε）β
则Ｊ（Ｍ０）＝
Ｘ＋Ｓ＋Ｉ＝１［］ε－（μ＋ｂ）
则系统等价于则对应的特征方程为
Ｊ（Ｍ０）
（）（）２
Ｓ′＝β１－Ｓ－ＩＩ－μ＋εＳλ＋［（＋ε）＋（＋ｂ）］λ＋（＋ε）（＋ｂ）－
（２）μμμμ
Ｉ′Ｓ（ｂ）Ｉ
｛＝ε－μ＋βε＝０
系统（２）的正向不变集为：
（μ＋ε）＋（μ＋ｂ）
λ１＋λ２＝－０，λ１λ２＝（μ
Ｄ＝｛｝（Ｓ，Ｉ）Ｓ≥０，Ｉ≥０，Ｓ＋Ｉ≤１２
平衡点的存在性
２＋ε）（μ＋ｂ）－βε
令系统右端等于零易得系统有两个平衡由可得特征方程有两个负
（２）Ｒ０１λ１λ２０，

收稿日期：２０１１－０７－０５．
作者简介：徐娟（１９８２－），女，江苏高邮人，在读硕士研究生，助教，研究方向：常微分方程．

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第２４卷第５期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２０１１

实根则局部渐近稳定趋于平衡点
，Ｍ０。Ｍ０；
定理当时，正平衡点存在且结合的局部稳定性知是全局渐近稳
３Ｒ０１Ｍ１Ｍ０Ｍ０
局部渐近稳定
。定的。
证明系统在处的矩阵是
（２）Ｍ１Ｊａｃｏｂｉ定理当时正平衡点在内全
５Ｒ０１，Ｍ１Ｄ
＊（）＊＊
－βＩ－μ＋εβ－βＳ－２βＩ局渐近稳定。
Ｊ（Ｍ１）＝
［］ε－（μ＋ｂ）
证明取函数１
（）＊（）（）Ｄｕｌａｃ，Ｂ（Ｓ，Ｉ）＝
ｔｒＪＭ１＝－βＩ－μ＋ε－μ＋ｂ０Ｉ
（）＊（）（）（
ｄｅｔＪＭ１＝［］βＩ＋μ＋εμ＋ｂ－εβ（）
ＢＰ１（）
＊＊＝－β－μ＋ε０
－βＳ－２βＳＩ）ＳＩ
（）（）
βε－μ＋εμ＋ｂ（）（）（ＢＱ）εＳ
＝＋μ＋εμ＋ｂ－＝－２０
［］μ＋ｂ＋εＩＩ
ε（＋ｂ）－（＋ｂ）２（＋ε）即系统在内无周期解结合局部稳定
ε［－βμμμ－（２）Ｄ。
βε（＋ｂ＋ε）
μ性知是全局渐近稳定的
Ｍ１。
２βε－２（μ＋ε）（μ＋ｂ）１
］＝［βε（μ＋ｂ）－通过上述模型的分析可得出
（μ＋ｂ＋ε）μ＋ｂ＋ε，：
（）（）２（）（）（）当时仅存在无病平衡点且无病平衡
２μ＋εμ＋ｂ＋μ＋εμ＋ｂμ＋ｂ＋εＲ０１，
２
－βε（μ＋ｂ＋ε）＋βε（μ＋ｂ）＋２βε－２ε（μ＋ε）（μ点是全局渐进稳定的，即该传染病最终在该地区
＋ｂ）］灭绝。
１２（μ＋ｂ＋ε）（μ＋ｂ）（μ＋ε）当时地方病平衡点全局渐近稳定
＝２［－Ｒ０１，，
βε（μ＋ｂ＋ε）μ＋ｂ＋εβε
该传染病在该地区流行成为地方病，为了防止该
－１］
疾病在该地区长期流行结合的表达形式可
，Ｒ０，
１（μ＋ｂ）（μ＋ε）
＝２［１－］
βε（μ＋ｂ＋ε）βε以采取对患者隔离，减少人员去公共场所等