捕食者具有流行病的捕食-被捕食(SI)模型的分析.pdf

ouJrnalof生物数学学报2006,21(1):97-104Biomathematics捕食者具有流行病的捕食一被捕食(5I)模型的分析孙树林原存德(山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾041004)摘要:建g并分析了捕食者具有疾病的生态一流行病(Sl)模型，讨论解的有界性，得到了平衡点局部渐近稳定的充分条件，进一步，分析了平衡点的全局稳定性，得到了捕食者绝灭和疾病成为地方病的充分条件关键词:生态一流行病模型;渐近德定;永久特续生存;传染病中图分类号:0175.1MR分类号:92D30文献标识码:A文章编号:1001-9626(2006)01-0097-080引言近年来，以Volterra和Lotka为代表的种群动力学，和以Kermack及Mckendrick为代表的流行病动力学，已经有了相当的发展.它们分别在开发利用资源和预防治疗疾病方面都起到了不同程度的指导作用.由于流行病必然在物种之间传播，所以为了更符合实际情况，应该把种群动力学和流行病动力学结合起来考虑.但是，目前这方面的工作并不多见.其中:文〔1]考虑了模型了.R.一一.R(a一cF一,\U)+rUJU·、‘一.U(AR一qF一动(1).·.F一-.一F(一b+dR一hU)了R·l-一esR(a一cF一，V)少F·、一.F(-b+dR一8V)+vv(2).·.V一-.一V(JF+eR一v)模型(1)表示疾病只在食饵之间传播，其中R表示易感的食饵密度，U表示染病的食饵密度，F表示捕食者的密度，其中所有系数均为正常数，但h的符号可以变化，当h>0时，表示疾病对捕食者不利，可能因病死亡，当h<0时，就是通常的Lotka-Voterra方程.模型(2)收稿8期:2003-11-08;收修改稿日期:2004-05-25甚金项目:山西省青年科技研究基金资助项目(20021004)作者简介:孙树林(1974-)，男，山西大同人，硕士.生物数学学报第21卷表示疾病只在捕食者之间传播，R表示食饵的密度，F表示易感的捕食者密度，V表示染病的捕食者密度，其中所有系数均为正常数.通过分析边界平衡点和正平衡点的动力学性质，得出结论，这样建立的生态一流行病模型的动力学性质基本上继承了Lotka-Voterra系统的动力学性质.文[[2]考虑了食饵染病的捕食一被捕食模型的动力学行为，模型为了ds.._、/_S+八__，，。、，，.一一一.击r(S+I)《I一二一:二)一osi一'Y1(S)Y.、-一\一K/.，dl、r一-.由,lsl一ci一'Y2劝Y(3)..dy.-气击一-一dY+Pi'Y1(S)Y+P272(I)Y其中S,I分别表示食饵的易感类密度和染病类密度，Y表示捕食者的密度.r表示食饵的内察增长率，K为环境容纳量，0为传染率，c,d分别是染病食饵和捕食者的死亡率，P1,P2为消化系数，'1(S)和，2川分别表示捕食者的功能反应函数.他们假设食饵的内察增长率足够大，使得S十I=K，从而降维研究，再应用Poincare映射得到原系统的动力学性质.主要得到疾病是否流行的阑值条件，当考虑HollingII功能反应函数时，得到了此系统存在空间周期解.文[3]也考虑了食饵染病的捕食一被捕食模型，但与文[2]有不同之处.其模型为了ds./__一S+I\。。，.一一r.5I1一一一二-I一pJI.由.dlK\/尹、-.击一-(4).QSI一CI一试刀Y..dy.一‘d一一Yt(一d+k}(I))其中S,I,Y,r,。，d,K,,3与模型(3)的意义一样·q(I)表示捕食功能反应函数，而且W)是I的正的单调有界函数，X1(0)=0,k(0<k<1)为转化系数.通过分析，得到疾病是否流行和捕食者种群是否增长的闭值，进一步，讨论了系统的永久持续生存，得到系统出现Hopf分支的条件.文〔1]没有考虑食饵有密度制约以及染病者因病死亡的情形，文{2],[3}是假设疾病只在食饵之间传播，为此，我们考虑食饵有密度制约，疾病只在捕食者之间传播而且染病的捕食者会因病死亡的生态一流行病(Si)模型.假设染病的捕食者不捕食饵.其模型为dX击一d二X(sa一bX)一cXS由一二exs一d1S一口Si(5)dl山-=口Si一d21其中X表示食饵的密度，S,I分别表示易感类捕食者和染病类捕食者的密度，所有系数均为正常数，。为食饵的内察增长率，b为密度制约系数，。为捕食系数，。=kc(0<k<1),k为第1期孙树林等:捕食者具有流行病的捕食一被捕食(SI)模型的分析转化系数，d,,d:分别表示易感类捕食者和染病类捕食者的死亡率，由于考虑因病死亡，所以d,<d2,N为接触率.此模型假设这种传染病一但染上就不再康复.1预备知识鉴于生态意义，我们只在R牵={(X,S,I)ER3:X>O,S>O,I>0}上讨论，定理1R草是系统