一类具有时滞传染病模型的稳定性.pdf

第40卷第17期数学的实践与认识Vol.40,N0.17
MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYSeP
20一"年9月,2010

一类具有时滞传染病模型的稳定性
宫兆刚,阳志锋

(衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳42105)

滴要:讨论了具有双时滞的515传染病模型.研究了一个边界平衡点的全局稳
定性和正平衡点的局部稳定性,得到了传染病最终消失和成为地方病的闲值.

关扭词:传染病模型;时滞;局部稳定性;全局稳定性;间值

1引言

在文=1一3}模型的基础上,充分考虑了传染病具有潜伏期,我们对模型修改并考虑具有双
时滞的情形.本文研究的模型假设此种传染病只在成年个体间传播,而幼年个体不感染此传
染病,并且此种传染病的平均染病周期相对与种群的成熟时间很小.从而考虑数学模型如下:
忿1(t)=axZ(t)一甲xl(t)一ae一rrxZ(t)
士2(亡)="e一r了二2(亡)一ox鑫(亡)一儿xZ(亡一二),(亡一二)+印(亡)(1)
{夕(t)=Ik二2(忿一二),(t一二)一勿(亡)一即(t)
其中xl(t),xZ(t),叭t)分别表示t时刻幼年个体数目,成年易感者个体数目,成年染病者个体
数目.a,守,O,k,c,b均为常数,其中a表示幼年个体的出生率,甲表示幼年的死亡率,a表示
成年个体的自然死亡率,k表示传染病的传染率,l为传染病的转化率,二表示传染病的潜伏
期,e一/表示t一二时刻出生的幼年个体活动t时刻的概率,b表示染病者的因病死亡率,"表
示传染病者的恢复率.
令R牵={(二1,二2,"):x:全0,x:全0,"全o}且C+([一二,o],R牵)为从卜丁,0}到磷的连
续函数空间.同时假定系统(l)满足初始条件:
二!(亡)=甲1(亡),xZ(亡)=沪2(亡),,(亡)=沪3(亡)
(沪1,沪2,沪3)"C+(=一二,01,R牵)(2)
{沪-(0)>0,葱=1,2,s

2系统(l)平衡点的稳定性分析

令方程组(l)右端为零,可得
"x2一甲xl一ae一r丁xZ=0
ae一什x:一六鑫(t)一庇2,+印=0
{l肠2今一勺一印=O
从而可解得两个边界平衡点E0(0,0,0)和El(云l,示2,0),其中,
云1=aZe一.:一.e一r了(1一e一r了),惫:=ae一-e一,了
收稿日挽2"以卜11一24
资助项目:衡阳师范学院科学基金青年项目(07A15)
17期宫兆刚,等:一类具有时滞传染病模型的稳定性147

令Ro一l哄茫二,当R0>1时,存在惟一正平衡点场(对,咤,犷),其中
a(b+e)(l一e一9了)b+clx鑫(ae一0一0x鑫)
x丈Ik守l儿b+e一le
系统(l)在边界平衡点E0(0,0,0)的一次近似线性系统为:
.叮了//!!夕!.了.飞/./夕..了/
!!XU甘#"!a一Qe一rr-!!-!!XU.
z(t)l一07l(t娜)
一ae一r了C/1.!
一6一c
特征矩阵为:

入+r一"+"e一r下0

0入一ae一r丁一C
(00人+b+e)
特征方程为:
(入+甲)(入一ae一r下)(入+b+e)=0

显然特征方程有一个正的实根,故E0(0,o,0)是不稳定的.
为求El峥l,云2,0)的近似线性系统,作
Xl二x1一云1,瓜=xZ一示2,卜梦
为了叙述方便仍用xl,xZ,,记Xl,儿,Y得系统(l)在El峥:,云2,0)处的近似线性系统为:

口一口e一守了

ae.一,了一20云2C
(洲一(盯0一b一c){i拼})#
.!/夕!.口.!了/!!
0xl(亡一二)
一k示2xZ(亡一丁)
():l天:云2y(t一二))
特征矩阵为

/人+守一a+ae一r下0
!0入一ae一r了一十20示2k云Ze一入丁一c
\00入一l无岔Ze一人了+b+e)
其特征方程为:
(入+甲)(入+aer丁)(入l无"e一le一r了e一入了+b+e)=o(3)

显然方程(3)有两个负实根入l=一侧,入:二一ae一竹,方程(3)的其它根由方程
人一Ikaa一le一r了e一入下+b+c一0(4)
所确定.对方程(4)变形后得:
人+b+e=Ikoo一-e一r下e一人了(5)
当Ro一些裂厂二<1时,方程(4)不存在着具有非负实部的根.如若不然,不妨假设方程
(4)存在根入",使得R以"全0,将人"代回方程(4)并且方程两端同时取模后有:
b+e=Ib+el三l入"+b+el=}Ikoo一.e一,下e一入"丁}三Ikoe一-e一,下e一rRe入"三Ikao一-e一,了
而这与
Ikoo一le一r了
<1
b+e
148数学的实践与认识40卷

矛盾,所以假设不成立#从而当Ro一丛今护二<-时,方程(5)的根均具有负实部;
当R0一鲍群笋二>1时,方程(4)存