一类具有种群Logistic增长的SIR传染病模型的稳定性.pdf

第30卷第1期贵州师范大学学报(自然科学版)Vol．30．No．1
2012年1月JournalofGuizhouNormalUniversity(NaturalSciences)Jan2012

文章编号:1004—5570(2012)01－0064－06

一类具有种群Logistic增长的SIR
传染病模型的稳定性＊

宫兆刚，蔡江涛，阳志锋

(衡阳师范学院数学与计算科学系，湖南衡阳421008)

摘要:研究一类具有种群Logistic增长的SIR传染病模型，应用微分方程定性理论，分别得到了该系统无病平衡
点、地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件，并进行了数值模拟．
关键词:传染病模型;Logistic;平衡点;全局稳定性
中图分类号:O193文献标识码:A

GlobalstabilityofanSIRepidemicmodel
withspeciesLogisticgrowth

GONGZhao-gang，CAIJiang-tao，YANGZhi-feng

(DepartmentofMathematicsandComputingSciences，HengyangNormalUniversity，Hengyang，Hunan421008，China)

Abstract:AnSIRepidemicmodelwithspecieslogisticgrowthisinvestigated．Byusingthequalitative
theoryofordinarydifferentialequations，sufficientconditionsareobtainedfortheglobalasymptoticsta-
bilityofeachoffeasibleequilibriumtotheproposedmodel．Also，somenumericalsimulationsarepro-
videdtoconfirmouranalyticresults．
Keywords:epidemicmodel;logistic;equilibrium;globalstability

口的总量是在不断变化的．在传统的SIS模型中，
0引言大多假设人口的总量是常数，这样的假设仅当疾病
的传播数度快，流行时间短，环境封闭且忽略出生
传染病在人们的生活中时时存在的，利用动力率和死亡率的情况下才是合理的．但是在实际问题
学方法来研究传染病模型是非常重要的方法之一，中，人口的总量是在不断变化的．文［3］假设人口
［1］
并且取得了很好的结果．文［2］研究具有免疫和总数量按Logistic增长，因此易感者人数S(t)也是
人口总数变化的SIS模型．在传统的SIS模型中，dSS
按Logistic增长，即:=rS(1－)．基于上述考
大多假设人口的总量是常数，这样的假设仅当疾病dtK
的传播数度快，流行时间短．但是在实际问题中，人虑，本文研究的数学模型如下:

*收稿日期:2011－09－5
基金项目:衡阳师范学院科学基金青年项目(11A31)
作者简介:宫兆刚(1978－)，男，硕士，讲师，研究方向:生物数学研究，E－mail:gzgfeixue781019@163．
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第1期宫兆刚，蔡江涛，阳志锋:一类具有种群Logistic增长的SIR传染病模型的稳定性

dSSSI证明令V(t)=S(t)+I(t)，则沿系统(2)的解
=rS(1－)－β+cI，
dtKS+I的全导数为:

dISI，()·SrS2
=β－dI－cI－μI1V=rS(1－)－(d+μ)I=rS－－(d+
dtS+IKK

dR，K(r+d+μ)2
=μI－dRμ)I≤－(d+μ)V+
dt4r
其中()，()，()分别表示时刻易感2
StItRtt(d+μ+r)K
limsupV≤，所以对ε＞0，
者、感染者、恢复者的数量，r为内禀自然增长率，t→∞4(d+μ)r
K为环境容纳量，β为传染率，c为恢复率，d为死T＞0，当t＞T时，
亡率，为移出率，系统中的所有参数均为正值()2
μ．()d+μ+rK，()
St＜()+εIt＜
系统(1)的前两个方程不依赖第三个方程，因4d+μr
():(d+μ+r)2K
此仅考虑由系统1的前两个方程所构成的系统+ε．因此系统(3)的一切正解最终
4(d+μ)r
dS(S)SI，
=rS1－－β+cI有界．
dtKS+I()
2定理当时，无病平衡点(，)
{2β＜d+c+μE1K0
dISI
=β－dI－cI－μI，
dtS+I是局部渐近稳定的．
对系统()作变换()，仍记为，证明系统()在(，)处的矩阵为:
2dt=KS+Idτdτdt3E1K0Jacobi
则(2)化为:－rK2K2(c－β)