一类SIR流行病模型的周期解的全局存在性.pdf

第17卷第3期纺织高校基础科学学报Vol.17,No.3
2004年9月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESSept.,2004

文章编号:1006-8341(2004)03-0194-04

一类SIR流行病模型的周期解的全局存在性
胡新利1,王凯明2,金上海3

(1.西安工程科技学院理学院,陕西西安710048;2.长安大学理学院,陕西西安710064;
3.西安理工大学理学院,陕西西安710048)

摘要:利用MAWHIN重合度理论中的延拓定理研究了一类SIR流行病模型的非平凡周期
解的全局存在性.并且Matlab对其进行了数值模拟,作出了模型的相图和解曲线图形.
关键词:传染病模型;周期解;重合度
中图分类号:O175文献标识码:A
0前言

流行病在现实生活中广泛存在,对流行病的研究已是数学知识应用的一个重要领域.从1927年
Kermark和Mckendrick开始了传染病的数学模型的研究[1],传染病动力学的研究进展迅速,大量的
数学模型被用于分析各种各样的传染病问题,从而构成了丰富多彩的传染病动力学模型[2].由于
SARS和禽流感等疾病的相继爆发和流行,传染病动力学的建模和研究近期又成为一个热点[3].
具有种群动力的自治流行病模型已有许多作者做了研究,得到了非常好的结论.对具有种群动力
的非自治流行病模型的研究也有一些文章,但主要集中在对种群规模及染病者的持续生存和绝灭的
阈值的研究上[4],对周期正解的存在性及其稳定性的研究据作者所知这方面的文章是很少的.最近,
～
有不少作者借助非线性分析中的重合度理论来研究种群生态模型周期解的存在性问题[57].本文中
也将利用这些方法来研究具有种群动力的SIR流行病模型,获得了一类模型正周期解存在的充分条
件.
本文中考虑模型
Sø(t)=LS-B(t)SI,
Iø(t)=B(t)SI-CI,(1)
Rø(t)=CI,
这里S(t)和I(t)分别是t时刻易感者和染病者的数量,R(t)是t时刻移出者的数量(包括死亡者和恢
复者的数量).其中L=b-d,b是自然出生率,d是自然死亡率,C是移出率,B(t)是感染率.由于许多
疾病的的传播都和季节有密切的关系,设B(t)>0为周期为X的周期函数.
在这里因为(1)式的第3个方程与前两个无关,故仅考虑系统
Sø(t)=LS-B(t)SI,
(2)
Iø(t)=B(t)SI-CI.

X收稿日期:2004-02-11
基金项目:国家自然科学基金资助项目(30170823)
作者简介:胡新利(1975-),女,陕西省渭南市人,西安工程科技学院讲师.

X
第3期一类SIR流行病模型的周期解的全局存在性195

X
为以后讨论方便,引入记号B=1B(t)dt.
X∫0
1周期解的存在性

为了证明周期解的存在性,先介绍重合度理论中的连续性定理.
设X,Z是Banach空间,L:DomL<X→Z为线性映射,N:X→Z为连续映射,如果dimKerL=
codimImL<+∞,且ImL是Z中闭子集,则称映射L为指标为零的Fredholm映射.如果L是指标
为零的Fredholm映射,且存在连续投影算子P:X→X,以及Q:Z→Z,使得ImP=KerL,ImL=KerQ

=Im(I-Q),则LûDomL∩KerP:(I-P)X→ImL可逆,记其逆映射为KP.设8为X中的有界开集,如

果QN(8)有界,且KP(I-Q)N:8→X是紧的,则称N在8上是L-紧的.由于ImQ与KerL同构,
因而存在同构映射J:ImQ→KerL.
定理1[8](延拓定理)设L是指标为零的Fredholm映射,N在8上是L-紧的,若
(a)PK∈(0,1),方程Lx=KNx的解满足x|58;
(b)Px∈58∩KerL,QNx≠0,且deg{JQN,8∩KerL,0}≠0,则方程Lx=Nx在DomL∩
8内至少存在一个解.
接下来用定理1来分析模型(2)周期解的存在性.由于S(t),I(t)坐标轴都是系统(2)的解曲线,
2T
由解的存在唯一性知R+={(S,I)ûS>0,I>0}是正向不变的.根据系统(2)的生态意义,本文中考
虑它的所有正解.
定理2假设L>0,C>0,B(t)>0,且B(t+X)=B(t),则系统(2)至少存在一个X周期正解.
证明作变换

S(t)=exp(u1(t)),I(t)=exp(u2(t)),(3)
则系统(2)等价于

u1ø(t)=L-B(t)exp(u2(t)),
(4)
u2ø(t)=B(t)exp(u1(t))-C,
T2
取X=Z={u(t)=(u1(t),u2(t))∈C(R,R):u(t+X)=u(t)},
2
记‖u(t)‖=maxûui(t)û,
t∈