沈阳师范大学850数学分析一2021年考研专业课初试大纲.pdf

先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹2021年全国硕士研究生招生考试大纲科目代码：850科目名称：数学分析一适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论制订单位：沈阳师范大学修订日期：2020年9月1我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》《数学分析一》考试大纲一、课程简介数学分析是数学专业的基础课之一。主要内容包括：实数理论；极限理论；一元函数和多元函数的微分学理论；级数理论和积分理论。主要培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力；熟练的运算能力与运算技巧；提高建立数学模型、并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。二、考查目标主要考察考生对数学分析的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。三、考试内容及要求第一章实数集与函数一、考核知识点1、实数的概念；实数的性质；绝对值不等式。2、函数：函数的概念；函数的定义域和值域；复合函数；反函数。3、函数的几何特性：单调性；奇偶性；周期性。二、考核要求识记：函数的概念和表示方法。简单应用：会求解或证明简单绝对值不等式；会求函数的定义域和值域。第二章数列极限一、考核知识点1、数列极限的概念（N定义）。2、数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性。3、数列极限存在的条件：单调有界原理、两边夹法则。二、考核要求识记：有界数列与无穷大数列。简单应用：1、理解和掌握数列极限的概念。2、会使用N语言证明数列的极限。3、掌握数列极限的基本性质、运算法则以及数列极限的存在条件(单调有界原理和两边夹法则)，并能运用它们求数列极限。第三章函数极限一、考核知识点1、极限的概念（定义、M定义）；单侧极限的概念。2、函数极限的性质：唯一性；局部有界性；局部保号性。3、函数极限存在的条件：归结原则，单调有界定理。4、两个重要极限。二、考核要求识记：单侧极限的概念以及求法。无穷小量和无穷大量的概念性质和运算法则，无穷小量与无穷大量的比较。简单应用：1、理解和掌握函数极限的概念，会使用语语言以及M语言证明函数的极限。2非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》2、掌握函数极限的基本性质、运算法则，会使用归结原理证明函数极限不存在。3、掌握两个重要极限并能利用它们来求极限。第四章连续函数一、考核知识点1、函数连续的概念：一点连续的定义；在区间上连续的定义；单侧连续的定义；间断点的分类。2、连续函数的性质：局部性质及运算；闭区间上连续函数的性质（最值性、有界性、介值性、一致连续性）；复合函数的连续性；反函数的连续性。3、初等函数的连续性。二、考核要求识记：反函数、复合函数以及初等函数的连续性；函数间断点的分类。简单应用：1、理解与掌握函数连续性、一致连续性的定义以及它们的区别和联系。2、会证明具体函数的连续以及一致连续性。综合应用：闭区间上连续函数的性质及应用。第五章导数与微分一、考核知识点1、导数概念：导数的定义；单侧导数；导数的几何意义。2、求导法则：初等函数的求导；反函数的求导；复合函数的求导；隐函数的求导；参数方程的求导；导数的运算(四则运算)。3、微分：微分的定义；微分的运算法则；微分的应用。4、高阶导数。二、考核要求识记：函数左、右导数的概念以及分段函数求导方法，导函数的介值定理。简单应用：1、能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的（高阶）导数和微分。2、理解和掌握可导与可微、可导与连续的概念及其相互关系。第六章微分中值定理及应用一、考核知识点1、中值定理：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。2、函数的单调性与极值。3、泰勒公式。4、函数凹凸性与拐点。5、几种特殊类型的未定式极限与洛必达法则。二、考核要求识记：泰勒公式及在近似计算中的应用；某些函数的泰勒公式；函数作图。简单应用：理解和掌握中值定理的内容、证明及其在证明等式和不等式中的应用。综合应用：1、理解和掌握函数的单调性和凹凸性，会使用这些性质求函数的极值点以及拐点。3其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》2、能根据函数的单调性、凹凸性、拐点、渐近线等。3、能熟练地运用洛必达法则求未定式的极限。第七章实数的完备性一、考核知识点1、实数系六大基本定理：确界原理；单调有界定理；闭区间套定理；致密性定理；柯西收敛准则；有限覆盖定理。2、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明；最值性定理的证明；介值性定理的证明；一致连续性定理的证明。二、考核要求识记：了解6个实数完备性定理。简单应用：1、理解和掌握闭区间上连续函