积分变换第01讲.ppt

积分变换§1Fourier积分公式最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.----Fourier级数研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.引进复数形式：67任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有例矩形脉冲函数为现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则则sinc函数介绍前面计算出现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)则则在T=8时,如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出一般地,对于周期T当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是方波函数f(t)的各个频率成份上的分布,称作方波函数f(t)的傅里叶变换.1.2Fourier积分公式与Fourier积分存在定理{2223也可以转化为三角形式又考虑到积分§2Fourier变换2.1Fourier变换的定义Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的一种充分条件.在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数f(t)作傅氏变换,就是求这个时间函数f(t)的频谱.例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。30t2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则如果我们形式地计算这个导数,则得de(t)可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.d-函数的傅氏变换为:由上面两个函数的变换可得例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对.例4求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。例5证明：42§3Fourier变换与逆变换的性质2.位移性质:3.相似性：例1计算。方法2：（先用平移性，再用相似性）4.微分性：5.积分性：实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.例2利用傅氏变换的性质求d(t-t0),例3若f(t)=cosw0tu(t),求其傅氏变换。7.卷积与卷积定理例1求下列函数的卷积：卷积定理：例2求的傅氏变换。利用卷积公式来证明积分公式：