积分变换第6讲.ppt

积分变换第6讲拉氏变换的性质1.线性性质微分性质若L[f(t)]=F(s),则有 L[f'(t)=sF(s)-f(0) (2.3)证根据分部积分公式和拉氏变换公式推论若L[f(t)]=F(s),则L[f''(t)]=sL[f'(t)]-f'(0) =s{sL[f(t)]-f(0)}-f'(0) =s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0)...L[f(n)(t)]=sL[f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f'(0)-...-f(n-1)(0)(2.4)特别,当初值f(0)=f‘(0)=...=f(n-1)(0)=0时,有L[f’(t)]=sF(s),L[f‘’(t)]=s2F(s),..., L[f(n)(t)]=snF(s) (2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换.由于f(0)=1,f'(0)=0,f''(t)=-k2coskt,则L[-k2coskt]=L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0).即 -k2L[coskt]=s2L[coskt]-s移项化简得例2利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数.由于f(0)=f'(0)=...=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!所以L[m!]=L[f(m)(t)]=smL[f(t)]-sm-1f0)- sm-2f'(0)-...-f(m-1)(0)即 L[m!]=smL[tm]此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微分性质:若L[f(t)]=F(s),则 F'(s)=L[-tf(t)],Re(s)>c. (2.6)和 F(n)(s)=L[(-t)nf(t)],Re(s)>c. (2.7)这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序例3求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换.3.积分性质若L[f(t)]=F(s)重复应用(2.8)式,就可得到:由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:若L[f(t)]=F(s),则例4求函数其中F(s)=L[f(t)].此公式常用来计算某些积分.例如,4.位移性质若L[f(t)]=F(s),则有 L[eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c).(2.12)证根据拉氏变换式,有例5求L[eattm].5.延迟性质若L[f(t)]=F(s),又t<0时f(t)=0,则对于任一非负数t0,有 L[f(t-t)]=e-stF(s) (2.13)证根据(2.1)式,有函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它的图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.例7求函数例8求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换.利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为利用拉氏变换的线性性质及延迟性质,可得一般地,若L[f(t)]=F(s),则对于任何t>0,有例9求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以例10求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法,即设fT(t)(t>0)是周期为T的周期函数,如果初值定理与终值定理证根据拉氏变换的微分性质,有 L[f'(t)]=L[f(t)]-f(0)=sF(s)-f(0)两边同时将s趋向于实的正无穷大,并因为(2)终值定理若L[f(t)]=F(s),且sF(s)在Re(s)0的区域解析,则证根据定理给出的条件和微分性质 L[f'(t)]=sF(s)-f(0),两边取s0的极限,并由这个性质表明f(t)在t时的数值(稳定值),可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值而得到,它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系.在拉氏变换的应用中,往往先得到F(s)再去求出f(t).但经常并不关心函数f(t)的表达式,而是需要知道f(t)在t和t0时的性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由F(s)来求出f(t)的两个特殊值f(0),f(+).例11若35