第二十六章二次函数hyc.doc

龙文学校教师一对一龙文学校个性化辅导资料杜老师数学第26章：二次函数一、基础知识1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①（；②；(③(顶点式)；④；（⑤.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）轴的抛物线.4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()5.抛物线中的系数（1）决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置：当时，对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴左侧；当、异号时，对称轴在轴右侧.（3）决定抛物线与轴交点位置：当时，抛物线经过原点；当时,相交于轴的正半轴；当时,则相交于轴的负半轴.6.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.其中.（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点..7．用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）两点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.8.抛物线与轴的交点设二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：（1）抛物线与轴有两个交点；（2）抛物线与轴有一个交点（顶点在轴上）；（3）抛物线与轴没有交点.9.二次函数的应用二、经典例题第一部分二次函数的图像和性质例1：已知函数y=mx∣m-2∣+x-2是二次函数，则m等于[考点透视]本例主要是考查二次函数的概念yxO13图1例2：已知y＝ax2+bx的图象如图1所示，则y＝ax－b的图象一定过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限[考点透视]本例主要是考查二次函数的图像和性质，通过观察图象可以知道a和b的符号，从而可以判断出y＝ax－b的图象一定的象限.[参考答案]由图可知a＜0，又由顶点可知－＞0，所以b＞0.所以y＝ax－b的图象一定过第二、三、四象限.例3：把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．[参考答案]1；1例4：知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。[考点透视]本例主要是考查待定系数法[参考答案]（1）设这个抛物线的解析式为由已知，抛物线过，B（1，0），C（2，8）三点，得（3分）解这个方程组，得∴所求抛物线的解析式为（6分）（2）∴该抛物线的顶点坐标为例5：如图2在平而直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO＝，图2CO＝BO，AB＝3，则这条抛物线的函数解析式是.[考点透视]本例主要是考查数形结合，若能求出b与c即可求解.而事实上，由tan∠ACO＝，CO＝BO，AB＝3可以求出b与c.[参考答案]依题意，结合图象，当x＝0时y＝c＜0，即|OC|＝|c|，又tan∠ACO＝，CO＝BO，所以|OB|＝|OC|＝|c|，|OA|＝|c|，而AB＝3，所以|c|+|c|＝3，所以c＝－2，所以点A的坐标为（－1，0），所以b＝－1.所以这条抛物线的函数解析式是y＝x2－x－2.[思想]数形结合例6：已知二次函数y＝－x2+2x+m的部分图象如图3所示，则关于x的yxO13图3一元二次方程－x2+2x+m＝0的解为().[考点透视]本例主要是考查二次函数与一元二次方程的关系，由图象可知抛物线的对称轴x1＝1，与x轴的一个交点坐标是（3，0），从而可以求出另一个交点坐标.[参考答案]因为抛物线的对称轴x1＝1，与x轴的一个交点坐标是（3，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标是（－1，0），所以关于x的一元二次方程－x2+2x+m＝0的解为x1＝－1，x2＝3.[说明]设二次函数y＝ax2+bx+c的图象上两点（x1，y），（x2，y），则抛物线的对称轴方程是x＝.例7：将y＝x2－2x＋3化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则y＝