等差数列与等比数列.doc

等差数列与等比数列知识梳理一、等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式⑴通项公式，为首项，为公差.⑵前项和公式或.3.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，，成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.⑶；(,是常数)；(,是常数，)⑷若，则；⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；⑹当项数为，则；当项数为，则.二、等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.2.通项公式与前项和公式⑴通项公式：，为首项，为公比.⑵前项和公式：①当时，②当时，.3.等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，，成等差数列.4.等比数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.⑶⑷若，则；⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.（）典型例题题型1已知等差、等比数列的某些项，求某项例1.（1）已知为等差数列，，则；24（2）已知为等比数列，，则；13122变式训练：（1）在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．解：∵d＝a6－a5＝－5，∴a4＋a5＋…＋a10＝（2）已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝．解：64或1由题型2已知前项和及其某项，求项数.例2．⑴已知为等差数列的前项和，，求；⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，则⑵例3.⑴已知为等比数列前项和，，，公比，则项数.⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.【解析】⑴由，，公比，得.⑵方法1：设这四个数分别为，则；方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则，解得或；方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则或；方法4：设第个数分别为，设第个数分别为；方法5：设第个数分别为，则设第个数分别为，则或变式训练：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解：设这四个数为a－d，a，a＋d，依题意有：解得：或∴这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．题型3求等差、等比数列前项和例4.已知为等差数列的前项和，.⑴求；⑵求；⑶求.【解析】4.，当时，，当时，，当时，，.由，得，当时，；当时，.⑴；⑵；⑶当时，，当时，例5.已知为等比数列前项和，，求【解析】，即变式训练：1.已知为等差数列的前项和，⑴当为何值时，取得最大值；⑵求的值；⑶求数列的前项和【解析】⑴等差数列中，公差，令当时，；当时，.当时，取得最大值；⑵数列是等差数列；⑶由⑴得，当时，；当时，.2.已知为等比数列前项和，，求.【解析】，----------------①-------------②①—②，得题型4证明数列是等差、等比数列例6.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若，求数列的前n项和解：1），即为等差数列。（2）。例7.已知数列和满足：，，，其中为实数，.⑴对任意实数，证明数列不是等比数列；⑵试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.【解析】⑴证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即矛盾.所以不是等比数列.⑵解：因为又，所以当，此时不是等比数列；当时，由上可知，此时是等比数列.变式训练：1.已知数列满足⑴证明：数列是等比数列；⑵求数列的通项公式；⑶若数列满足证明是等差数列.【解析】⑴证明：,,是以为首项，2为公比的等比数列。⑵解：由（I）得⑶证明：①②②－①，得即，③④④－③，得即，是等差数列.题型5等差、等比数列的性质例8．（1）设、分别是等差数列、的前项和，，则.【解析】填.（2）已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是.【解析】已知两式相减，得（3）已知为等比数列前项和，，，则.【解析】是等比数列，为等比数列，.（4）已知等比数列中，，则.【解析】是等比数列，.（5）在等比数列中，已知，，则.【解析】．利用成等比数列，得题型6等差、