分块矩阵的行列式与Laplace定理.ppt

第二节分块矩阵在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。按虚线所示，矩阵A被分成4个子块，则分块矩阵的基本运算设A为ms矩阵，B为sn矩阵，Aij为misj子块（i=1，2，…，p；j=1，2，…，t），且m1+m2+…+mp=m，s1+s2+…+st=s；Bjk为sjnk子块（j=1，2，…，t；k=1，2，…，r），且k1+k2+…+kr=n，s1+s2+…+st=s。令AB=C，则分块矩阵的行列式与Laplace定理1.设A为n阶方阵，M为A的一个k阶子式，在A中去掉M所在的k行和k列的元素，由剩下的元素按原来的相对位置组成的nk阶行列式N，称为k阶子式M的余子式。2.如果k阶子式M在A中所在的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik；j1，j2，…，jk，则称为k阶子式M的代数余子式定理（Laplace定理）设n阶矩阵A=(aij)，在A中任意取定k行（1kn），由这k行组成的所有k阶子式Mi（i=1，2，…，t）与它们的代数余子式Bi（i=1，2，…，t）的乘积之和等于detA，即其中Bi是子式Mi的代数余子式（i=1，2，…，t）。分块对角矩阵（准对角矩阵）形如其中Ai（i=1，2，…，s）均为方阵，且其余子块均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或准对角矩阵。由Laplace定理知，分块对角矩阵的行列式具有下述性质：|A|=|A1|·|A2|·…·|As|由此性质可知，若|Ai|0（i=1，2，…，s），则|A|0，并有思考题1：设A，B分别为r和s阶方阵，则行列式为什么？答案：思考题2：设A，B分别为r和s阶方阵，则行列式为什么？答案：Youcandownloadthesepo[e-mail]“linearalgebra”.