第6讲 幂函数与二次函数.doc

第6讲幂函数与二次函数【2013年高考会这样考】1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1的图象分别如右图．3．幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)4.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))对称性图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)五个代表函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表．两种方法函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝eq\f(x1＋x2,2)对称．(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．双基自测1．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()．A．－3B．－1C．1D．3解析∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.答案A2.(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()．A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B3．(2011·浙江)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x＞0.))若f(α)＝4，则实数α等于()．A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α≤0，,－α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＞0，,α2＝4，))得α＝－4或α＝2，故选B.答案B4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于()．A．3B．2或3C．2D．1或2解析函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,fb＝b，,b>1，))即eq\b\lc\{\rc\(