第6讲幂函数与二次函数.docx

第6讲幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，则f(2)＝()A.eq\f(1,4)B．4C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)解析设f(x)＝xα，因为图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，代入解析式得：α＝－eq\f(1,2)，∴f(2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2).答案C2．若函数f(x)是幂函数，且满足eq\f(f4,f2)＝3，则f(eq\f(1,2))的值为()A．－3B．－eq\f(1,3)C．3D.eq\f(1,3)解析设f(x)＝xα，则由eq\f(f4,f2)＝3，得eq\f(4α,2α)＝3.∴2α＝3，∴f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))α＝eq\f(1,2α)＝eq\f(1,3).答案D3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()．A．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]B．(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))C．[1,3]D．(1,3)解析f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－eq\r(2)<b<2＋eq\r(2).答案B4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()．A．－3B．－1C．1D．3解析f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,2a＋2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋1＋2＝0，))解得a＝－3.答案A5.函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是()．A．{1,2}B．{1,4}C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}解析设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－eq\f(b,2a)对称．而选项D中eq\f(4＋16,2)≠eq\f(1＋64,2).答案D6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是()．A．3B．4C．5D．6解析由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－eq\f(b,2a)＝eq\f(1,2)，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案C二、填空题7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案①②⑤⑥8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(4ac－16,4a)＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,ac－4＝0.))答案a>0，ac＝49．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＝m，,α·β＝1，))∴m＝β＋eq\f(1,β).∵β∈(1,2)且函数m＝β＋eq\f(1,β)在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m＜2＋eq\f