幂函数的图像性质和应用.doc

(完整word版)幂函数的图像性质和应用(完整word版)幂函数的图像性质和应用(完整word版)幂函数的图像性质和应用幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）幂函数的图像与性质幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：它们都过点，除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限．时，幂函数图像过原点且在上是增函数．时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．任何两个幂函数最多有三个公共点．奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy幂函数基本性质（1）所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1)；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0,+∞］上,是增函数（3)α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;2．对于幂函数y＝,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限,其次确定曲线的类型,即＜0,0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双，大竖小横"，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．幂函数的应用xOy幂函数（、,且、互质）的图象在第一，二象限,且不经过原点，则有（)、为奇数且为偶数，为奇数，且为偶数，为奇数，且奇数，为偶数，且xOy右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（）解:取,由图像可知：，，应选．比较下列各组数的大小：（1），，；（2）,，;（3）,，．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵在上单调递增，且，∴．（2）底数均为负数,可以将其转化为,,．∵在上单调递增，且,∴，即，∴．（3）先将指数统一,底数化成正数．，,．∵在上单调递减,且，∴,即：．点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数,则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性;（3）若既不能化为同指数,也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．若，求实数的取值范围．分析：若，则有三种情况，或．解：根据幂函数的性质,有三种可能:或或,解得：．例3．已知幂函数(）的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴;∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例4、设函数f（x）＝x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f－1（x）＝f(x），f－1(x）＞f（x），f－1（x）＜f(x）的实数x的范围．解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．（2）∵函数f（x）＝x3和f－1(x）＝x的图象都经过点(0，0）和（1,1）．∴f－1（x)＝f（x）时,x＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知f－1(x）＞f(x)时，x＜－1或0＜x＜1；f－1（x）＜f(x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．解析：设t＝x，∵x≥－32,∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1)2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法．【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案:Ｃ2.下列函数在上为减函数的是()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案:Ｂ3.下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ4．函数y＝（x2－2x）的定义域是(）A．{x｜x≠0或x≠2｝B．（－∞，0）（2，＋∞）C．(－∞，0）][2，＋∞］D．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案:B5．函数y＝（1－x2）的值域是(）A．［0，＋∞］B．（0,1）C．（0,1）D．［0,1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2,则y＝．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：D6．函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞,1）B．(－∞，0)C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞）解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B．答案：B7．若a＜a,则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞0C．1＞