2013届高三文科数学应用题专题.doc

2013届高三文科数学应用题专题如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A点处，欲前往河对岸的C点处。若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C。已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v。（I）设，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为的函数；并求自变量取值范围；（II）当为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？2.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），……2分因此本年度的利润为即：…………………………6分由，得………8分（2）本年度的利润为则……10分由当是增函数；当是减函数.∴当时，万元，……12分因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，……14分所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．……16分3.青海玉树大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？(1)p＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，故p＝900x＋400y＋200xy.(2)S＝x·y，且p≤32000；由题意可得：p＝200S＋900x＋400y≥200S＋2eq\r(900×400S)，⇒200S＋1200eq\r(S)≤p≤32000⇒(eq\r(S))2＋6eq\r(S)－160≤0，⇒0<eq\r(S)≤10⇒S≤100；当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x＝400y，,xy＝100))⇒x＝eq\f(20,3)时取最大值；答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为eq\f(20,3)米．4.某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2007年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以2007年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润。