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关于勾股定理的几个误区示例
一、主观确定斜边
例1已知直角三角形的三边长分别是3,4,x,则x=_______________.
错解:由勾股定理,得+=,∴x=5.
错解分析:这种解法是将x当成斜边,事实上,本题没有指明x与4的大小关系,因此长度为4的边可能是直角边,也可能是斜边,应分两种情况讨论.
正解:当x为斜边时,同错解.
当4为斜边时,由勾股定理,得x==,∴x=5或.
答案：5或
二、忽略题目中的隐含条件
例2在Rt△ABC中，∠B＝90°,a=5,b=12,求c边的长.
错解:∵△ABC是直角三角形,∴,即,解得c=13.
错解分析：这种解法忽略了题目中∠B＝90°,则b为斜边这个隐含条件.
正解:∵∠B＝90°,∴b为斜边.
由勾股定理,得,∴c===.
三、忽略高在三角形外
例3在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,求BC的长.
错解:如图,由勾股定理,得=,即BD=9.
=,即CD=16.
∴BC=BD+CD=9+16=25.

错解分析：本题满足条件的三角形除上图外,还有下图所示的情况,即高AD在△ABC的外部.

正解：⑴当高AD在△ABC的内部时,同错解.⑵当高AD在△ABC的外部时,同样由勾股定理可求得BD=9,CD=16,这时BC=CD-BD=16-9=7.∴BC的长是25或7.
四、混淆勾股定理及其逆定理的区别
例4已知△ABC的三边a，b，c的长分别是6,8,10,试判断△ABC的形状.
错解:∵==100,,
∴,由勾股定理，知△ABC是直角三角形.
错解分析：勾股定理是由直角三角形推导三边的数量关系,而逆定理是由三角形的三边之间的数量关系推导三角形是直角三角形,二者不可混淆.
正解:把错解中的“由勾股定理,知”改为“由勾股定理的逆定理,知”.
五、盲目套用勾股定理
例5已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝３，b＝４，且b＜c．若c为整数，则c＝________.
错解：由勾股定理得c＝＝＝＝５．
错解分析：上面的解法受“勾３,股４,弦５”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形，就把△ABC当成直角三角形，盲目套用勾股定理进行计算，导致错误．解题时应注意已知条件，要注意勾股定理只在直角三角形中才成立．由于题目中没有明确给出三角形为直角三角形，只能利用三角形的三边关系解题．
正解：由三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，知b－a＜c＜a＋b．又b＜c，∴b＜c＜a＋b，
即４＜c＜７．∵c为整数，∴c为５或６．
点拨：应用勾股定理解题的前提是在直角三角形中，否则勾股定理是不适用的．掌握勾股定理要注意以下三点：一是勾股定理所揭示的是直角三角形三边之间平方关系的定理，它反映了直角三角形三条边之间的数量关系；二是在直角三角形中一定要分清已知的边是直角边还是斜边；三是勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形或钝角三角形．
六、不理解勾股数的概念
例6下列各组数能构成勾股数的是________.
①０．０７，０．２４，０．２５；②６，８，１０；③７，８，１０；④,,1.
错解：①，②，④
错解分析：首先，勾股数必须是一组正整数，其次是勾股数要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．将①，④选上主要是对勾股数概念不理解，出现概念错误．
正解：②
点拨：若a，b，c满足a２＋b２＝c２，且a，b，c均为正整数，则a，b，c是一组勾股数．
七、对勾股数的理解想当然
例7以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有（ ）
①３，４，５；②，，；③３２，４２，５２；④６，８，１０．
Ａ．１组 Ｂ．２组 Ｃ．３组 Ｄ．４组
错解：选Ｄ．
错解分析：由于３，４，５是一组勾股数，故把这组数同时扩大相同的倍数，所得一组数仍为勾股数．但将这组数同时开方或平方，得到的数就不是勾股数，因此，，和３２，４２，５２不是勾股数．
正解：选Ｂ．
点拨：判断一组正整数是不是勾股数，就是运用勾股定理的逆定理，将两较小数的平方和a２＋b２与最大数的平方c２作比较，看它们是否满足a２＋b２＝c２．这样才能判断它们是否是勾股数、以这样的三条线段能否构成直角三角形，千万不要出现认为，，和３２，４２，５２是勾股数这样的想当然的错误．
八、仅凭直觉记忆，模糊解题
例8已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，
且（a＋b）（a－b）＝c２，则（ ）
Ａ．∠A为直角Ｂ．∠C为直角
Ｃ．∠B为直角Ｄ．△ABC不是直角三角形
错解：选Ｂ．
错解分析：错解错在受思维定势的影响：在通常情况下，将直角标注为∠C．因而有的学生就习惯性认为∠C所表示的角就是直角，导致对已知条件粗略地分析了一下，得出存在平方关系之后就习惯性认为边c