41平面向量的概念及其线性运算.doc

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
4.1平面向量的概念及其线性运算
一、知识点
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算
三角形法则

平行四边形法则(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二、考点分析
考点一向量的有关概念
1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()
A．②③B．①②C．③④ D．④⑤
考点二向量的线性运算
(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
考点三共线向量定理的应用
设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

三、例题巩固
1.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝()
A．a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b
2．(2013·贵阳监测考试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，
且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()
A．aB．bC．c D．0
3.(2013·“江南十校”联考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝eq\f(1,4)＋λ(λ∈R)，则AD的长为()
A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．5eq\r(3)
4．(2014·哈尔滨四校联考)在△ABC中，N是AC边上一点，且＝eq\f(1,2)，P是BN上的一点，若＝m＋eq\f(2,9)，则实数m的值为()
A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1 D．3
5．(2014·大连高三双基测试)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()
A．3B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(3,2)
6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．

7．(2013·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
8.如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则等于________．