限时集训(二十八) 数列的概念与简单表示法.doc

限时集训(二十八)数列的概念与简单表示法(限时：60分钟满分：110分)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．数列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的通项公式an＝________(写出一个即可)．2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的________条件．3．数列{an}的通项an＝eq\f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大值是________．4．(2013·镇江期中)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，记数列{an}的前n项之积为Tr，则T2013＝________.5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k＝________.6．(2012·新课标全国卷改编)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．7．根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有________个点．8．已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________．9．数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤an<\f(1,2)))，,2an－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤an<1))，))若a1＝eq\f(6,7)，则a2013＝________.10．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.二、解答题(本大题共4小题，共60分)11．(满分14分)数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3…·an＝n2，求a3＋a5的值．12．(满分14分)已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2eq\r(Sn)＝an＋1，求an.13.(满分16分)已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝2n＋1.14．(满分16分)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝eq\f(2,an＋1)，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．答案[限时集训(二十八)]1．解析：由已知得，数列可写成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通项为eq\f(n,2n－1).答案：eq\f(n,2n－1)2．解析：若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，即λ<eq\f(3,2).由λ<1可得λ<eq\f(3,2)，但反过来，由λ<eq\f(3,2)不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．解析：因为an＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，运用基本不等式得eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝eq\f(1,19)最大．答案：eq\f(1,19)4．解析：由a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而T2013＝(－1)671＝－1.答案：－15．解析：由an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Snn＝1，,Sn－Sn－1n≥2))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8n＝1，,2n－10n≥2，))得an＝2n－10.由5<2k－10<8得7.5<k<9，由于k∈N*，所以k＝8.答案：86．解析：∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1.∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝eq\f(15×10＋234,2)＝