高考数学总复习 第四单元第三节导数的应用Ⅱ 试题.doc

导数的应用一、选择题1．函数y＝x＋eq\f(1,x)(－2＜x＜0)的极大值为()A．－2B．2C．－eq\f(5,2)D．不存在【解析】y′＝1－eq\f(1,x2)，令y′＝0，得x＝－1.当－2＜x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜0时，f′(x)＜0.∴f(x)极大值＝f(－1)＝－2.【答案】A2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3.f(x)在x＝－3处取得极值，则f′(－3)＝0，可得a＝5.【答案】D3.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)图象如图所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c【解析】观察图象，f′(0)＝0，当x＜0时，f′(x)＜0.当0<x<2时，f′(x)＞0.∴f(x)极小值＝f(0)＝c.【答案】D4．函数f(x)＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)取极小值时，x为()A．1B．－1C．0D．不存在【解析】f′(x)＝eq\f(1,2)(ex－e－x)，令f′(x)＝0，得x＝0.当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．∴x＝0时，函数f(x)取极小值．【答案】C5．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x【解析】设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.依题意，建立a、b、c、d方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f′3＝0，,f1＝4，,d＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋c＝0，,27a＋6b＋c＝0，,a＋b＋c＋d＝4，,d＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－6，,c＝9，,d＝0.))经检验，符合题意．【答案】B6．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)是R上的增函数D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数【解析】由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．【答案】C7．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子容积的最大值是()A．134cm3B．144cm3C．102cm3D．98cm3【解析】设小正方形边长为xcm，则盒子容积V(x)＝x(10－2x)(16－2x)＝4(x3－13x2＋40x)(0＜x＜5)．V′(x)＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)．令V′(x)＝0，解得x＝2或x＝eq\f(20,3).但eq\f(20,3)∉(0,5)，∴x＝2.∵极值点只有一个，可判断该点就是最大值点．∴当x＝2时，V(x)最大，V(2)＝4(8－52＋80)＝144(cm)3.当截取的小正方形边长为2cm时，盒子容积最大为144(cm)3.【答案】B二、填空题8．已知实数a＞0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，则实数a的值为________．【解析】令f′(x)＝a(x－2)2＋ax·2(x－2)＝a(x－2)(3x－2)＝0，解得x＝2或x＝eq\f(2,3).又a＞0，∴当x＜eq\f(2,3)或x＞2时，f′(x)＞0；当eq\f(2,3)＜x＜2时f′(x)＜0.∴x＝eq\f(2,3)时，f(x)取极大值．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝a·eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－2))2＝32，解得a＝27.【答案】279．(精选考题·安徽师大附中模拟)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．【解析】f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0，得x＝±eq\r(2b).若f(x)在(0,1)内有极小值，则方程正根x＝eq\r(2b)在(0,1)内，即0＜b＜eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))10．直线y＝a与函数f(x)