例谈数列知识在解题中的应用 专题辅导 不分版本 试题.doc

例谈数列知识在解题中的应用王启东袁海峰某些数学问题初看好像与数列性质毫不相干，但如果我们能仔细观察已知条件与结论的结构特征，或挖掘题目的隐含因素，经过恰当的变形处理，可发现它们与数列仍有密切关系。通过构造等差（比）数列，然后利用等差（比）数列的有关性质可巧妙简捷地求解，下面通过具体的例子来说明。一、巧设公差（比）求解方程（组）例1.解方程：分析：本题若两边平方直接解方程很繁，如能分析方程结构特征，变形巧设等差数列，则很简洁。解：由已知显然，成等差数列所以可设所以或若，代入（1）得：是增根，舍去。若符合。所以原方程的解为：例2.解方程组：解：由（1）变形得：解得：，即，即成等比数列。所以可设代入<2>整理得：即或所以经检验，上述四个解都是原方程组的解。二、巧用等差（比）知识解（证）不等式例3.（第19届莫斯科奥林匹克数学竞赛题）设，且，求证：分析：如能联想到无穷递增等比数列的求和公式：则解法就简洁多了。证明：因为所以所以例4.（第25届IMO）设x，y，z为非负实数，且，求证：证明：由对称性，不妨设因为所以成等差数列，故可设由得：所以当且仅当时取“＝”又所以原不等式成立。三、巧用等差（比）数列知识求最值例5.已知，求使成立的z的最大、小值。解：因为所以成等差数列所以可设代入<2>得：整理得：所以即：所以当，当时，四、巧用等差（比）数列知识解有关应用问题例6.从n个数中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等。证明：因为时，对任意成立。不妨设剩下的数中最大的数在第一部分中，则第一部分各数之和第二部分之和，得证。例7.桌面上有个杯子，杯子口全部向上，按如下规则对杯子进行操作：第一次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，……，第n次任意翻动其中的n（n＜p）个杯子，每次操作都是把杯口的方向由原来的向上（或向下）改为向下（或向上），求证：翻动100次以后杯口向下的杯子必有偶数个。证明：为了方便，给杯口向上的杯子赋值＋1，杯口向下的杯子赋值，设操作前各杯子的数值之积记为，设n次操作后各杯子的数值之积为，依题意可知：若，则命题必成立。因为翻动一个杯子，相当于将该杯的数值乘以。所以所以，将以上各式相乘，并约去公因式，得：故命题获证。