高三数学例谈椭圆定义在解题中的应用 专题辅导 不分版本 试题.doc

高三数学例谈椭圆定义在解题中的应用聂文喜定义是揭示事物的本质属性对于某些数学问题若能灵活运用定义解题往往事半功倍本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。一.解方程例1.分析：常规方法是经过两次平方去根号求解但运算繁杂难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义将方程配方后令得则点M（xy）的轨迹是以F1（-10）F2（10）为焦点长轴长为4的椭圆从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。解：由原方程可得解得二.判断方程表示的曲线例2.已知且满足试判断点M的轨迹是怎样的曲线。分析：若将原方程平方化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线注意式子结构的特点左边可看成点M到点（20）的距离从而可联想右边可化为点M到直线的距离即有由此联想到椭圆的第二定义就很简单地求出点M的轨迹是椭圆。三.求参数的取值范围例3.（2004年高考·全国卷III）设椭圆的两个焦点是F1（-c0）、F2（c0）（c>0）且椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直求m的取值范围。解：由题意知m>0且②2－①得：又所以即所以例4.（1997年全国联赛题）若方程表示的曲线为椭圆则m的取值范围是（）A.（01）B.（1+∞）C.（05）D.（5+∞）分析：由已知得即依题意此方程表示椭圆根据椭圆的第二定义得解得m>5选D。四.求最值例5.（1）（1999年全国联赛题）给定A（-22）已知B是椭圆上动点F是左焦点当取最小值时求B点坐标。（2）已知椭圆内有一点P（1-1）F为椭圆右焦点M是椭圆上动点求|MP|+|MF|的最小值。分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数再求最值因含有两个根式的和代入消元不易难以求解但如果我们注意数量特征利用椭圆定义合理转化则可得到如下简解。解：（1）显然点A在椭圆内部由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离所以结合平面几何知识可知当AB⊥l时最小此时易求B点坐标为（2）（2）设椭圆的左焦点为F'由平面几何知识得当且仅当M为线段F'P的延长线与椭圆交点时取等号。所以所以的最小值为。五.求轨迹方程例6.（2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F1、F2P是椭圆上一个动点如果延长F1P到Q使得那么动点Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线解：因为所以由椭圆第一定义得故即Q点轨迹是以F1为圆心以2a为半径的圆选A。六.求焦点三角形的面积例7.已知点P是椭圆上的一点F1、F2是两个焦点且∠F1PF2＝α求△F1PF2的面积S。解：△PF1F2中由余弦定理得所以故七.求离心率例8.已知P是椭圆上一点F1、F2是椭圆的左、右焦点若∠PF1F2＝α∠PF2F1＝β求椭圆离心率。解：△PF1F2中由正弦定理有八.求离心率取值范围例9.（2001年“希望杯”赛题）F1、F2是椭圆的两个焦点若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°求椭圆离心率的取值范围。解：由同例8得又所以